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《青理工高數(shù)同濟第七章教案》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、§7.3齊次方程齊次方程：如果一階微分方程務/(%』)中的函數(shù)心y)可寫成三的函數(shù)，即則稱這方程為齊次方程下列方程哪些是齊次方程？⑴a/-y-丁護一/=0是齊次方程.n興=卅"；=務=十+.⑵y/-x2yf=』_護不是齊次方程.=＞孚=?(3)(/+＞2)心_驢/)=0是齊次方程=＞字二兀+〉n字二蘭+丄.dxxyaxyx(4)(2x+y-4)如(兀+y-l)d)=O不是齊次方程=興」￡打.(5)(2xsh—+3ych-)dx-3xch^-dy=O是齊次方程.XXX2xsh—+3ych—xx3xch—=＞字諾臚+丄dx3xx齊次方程的
2、解法：在齊次方程牛=0(2)中，令”亠，即尸WX,有u+x半=(p(u),ci.xdx分離變量，得甲一=虬(p(u)-uX兩端積分，得=[^.J(p(u)-uJx求出積分后，再用丄代替U,便得所給齊次方程的通解.X解方程r+x2_(丄)2解原方程可寫成船土蘆說因此原方程是齊次方程.令鼻則y=ux,dxdx于是原方程變?yōu)槭藏０攵?dxu-xdu_udxw-1分離變量，得(1-丄)〃況=魚UX兩邊積分，得u-u+C=x,或?qū)懗蒷nxu=u+C.以丄代上式中的況，便得所給方程的通解?n
3、j
4、=—+C.xy2+Z2=2
5、C(X+-y)練習:P3141(3)作業(yè):P3141(2)2⑵§7.4線性微分方程線性方程線性方程：方程興+/W=g)叫做一階線性微分方程?如果Q⑴三0,則方程稱為齊次線性方程，否則方程稱為非齊次線性方程.方程字+P⑴尸0叫做對應于非齊次線性方程字+P(x)尸g)的齊次線性方程.axax下列方程各是什么類型方程？(1)(—2)字=尸申-丄尸()是齊次線性方程.dxdxx-2(2)3”+5x-5方0=>#=3/+5兀，是非齊次線性方程.(3)Aycos^-sin是非齊次線性方程.(4)字=10心，不是線性方程.dx(5)(y+l)2字+
6、宀On申-仝丁=0或申一竿匚不是線性方程.dxdx(y+1)，ayx5齊次線性方程的解法：齊次線性方程字+P(x)y=O是變量可分離方程.分離變量后得dx—=-P(x)dx,y§7.4線性微分方程線性方程線性方程：方程興+/W=g)叫做一階線性微分方程?如果Q⑴三0,則方程稱為齊次線性方程，否則方程稱為非齊次線性方程.方程字+P⑴尸0叫做對應于非齊次線性方程字+P(x)尸g)的齊次線性方程.axax下列方程各是什么類型方程？(1)(—2)字=尸申-丄尸()是齊次線性方程.dxdxx-2(2)3”+5x-5方0=>#=3/+5兀，是非齊次
7、線性方程.(3)Aycos^-sin是非齊次線性方程.(4)字=10心，不是線性方程.dx(5)(y+l)2字+宀On申-仝丁=0或申一竿匚不是線性方程.dxdx(y+1)，ayx5齊次線性方程的解法：齊次線性方程字+P(x)y=O是變量可分離方程.分離變量后得dx—=-P(x)dx,y兩邊積分，得ln
8、y
9、=-JP(x)^+C],或尸0一"皿9=±0),這就是齊次線性方程的通解(積分中不再加任意常數(shù)).例1求方程(兀-2)字的通解.dx解這是齊次線性方程，分離變量得業(yè)=%yx-2兩邊積分得ln
10、y
11、=ln
12、x-2
13、+lnC,方程的通
14、解為尸C(x-2).非齊次線性方程的解法：將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成兀的未知函數(shù)鞏力，把y=u(x)e~!m設想成非齊次線性方程的通解.代入非齊次線性方程求得uXx)e~^(x)dA-u(x)e~^(x)dxP(x)+P(x)u(x)e~^P(x)dx=Q(x),化簡得ux)=Q(x)eiP(x}dw(x)=jQ{x)e^P{x}dxdx+C,于是非齊次線性方程的通解為y之-附紹*』(皿必+C],或尸C討％皿+討“mJQ{x)e^x}dxdx.非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和.例2求方
15、程字—蘭=(兀+1)號的通解.axx+1解法1這是一個非齊次線性方程.先求對應的齊次線性方程羋-蘭=0的通解.(lxX+1分離變量得◎二迭，yx+1兩邊積分得In>-2ln(x+l)+lnC,齊次線性方程的通解為尸C(x+1)2.用常數(shù)變易法.把C換成処即令尸/(兀+1冗代入所給非齊次線性方程，得95wr-(x+l)2+2w-(x+l)w(x+1)2=(x+1)2兀+1丄%'=(兀+1)2,93兩邊積分，得w=—(x+1)2+C.再把上式代入>-n(x+l)2中，即得所求方程的通解為y=(x+l)2L
16、(x+i)2+Cj.95解法2這里
17、p(x)=-二，e(x)=(x+l)2?x+1因為JP(x)dx=^(-^—)dx=-2In+1),x+1討p(性嚴+1)=(兀+1)2f-r9-JQ(X0P(X]dXdx=^(x+1)2(x+1)~2Jx
