《求極限方法》word版

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1、求極限方法1.利用極限的四則運(yùn)算法則（只適用于有限項(xiàng)數(shù)）?：?令?加減：數(shù)乘：?（其中c是一個(gè)常數(shù)）乘除：?(其中B≠0)冪運(yùn)算：極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的?，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件?，滿足條件者。方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之。不滿足條件者?，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒有極限?，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形?，使其符合條件后?，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些技巧如拆項(xiàng)、分子分母同時(shí)約去

2、零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。2.利用洛必達(dá)法則?洛必達(dá)(L?'Hopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.簡(jiǎn)單講就是，在求一個(gè)含分式的函數(shù)的極限時(shí)，分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為零比零或無(wú)窮比無(wú)窮的類型。利用洛必達(dá)求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：?設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：???（1）x→a時(shí),lim?f(x)=0,lim?F(x)=0;????（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo),且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0;????（3）x→a時(shí),lim(f'(

3、x)/F'(x))存在或?yàn)闊o(wú)窮大????則?x→a時(shí),lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))?3.利用兩個(gè)重要極限：1、2、??或?應(yīng)用第一重要極限時(shí)?，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：??分子、分母為無(wú)窮小?，即極限為?0?；②?分子上取正弦?的角必須與分母一樣。應(yīng)用第二重要極限時(shí)?，必須同時(shí)滿足四個(gè)條件：?①帶有“1”；?②?中間是“+?”號(hào)?；?③“+?”號(hào)后面跟無(wú)窮小量?；?④指數(shù)和“+?”號(hào)后面的數(shù)要互為倒數(shù)。4.利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理??利用此定理求函數(shù)的極限時(shí)?，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用。若以和或差形式出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換?，

4、因?yàn)榻?jīng)此代換后?，往往會(huì)改變無(wú)窮小之比的階數(shù)。例：求由于，且故有注?：?（1）在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量替代，而對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有()，?，而推出?則得到的式錯(cuò)誤的結(jié)果．（2）代換時(shí)，被代換因式在上的導(dǎo)數(shù)值等于代換式在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值5.復(fù)合函數(shù)求極限6.無(wú)窮小運(yùn)算法則（1）有限個(gè)無(wú)窮小的和差還是無(wú)窮?。?）（2）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積還是無(wú)窮?。?）（3）常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮?。?）（4）有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮?。?）（5）有界函數(shù)除以無(wú)窮大為0（

5、6）非零常數(shù)乘以無(wú)窮大為無(wú)窮大（7）絕對(duì)值小于1的數(shù)的無(wú)窮大次冪為0（8）絕對(duì)值大于1的數(shù)的無(wú)窮大次冪為無(wú)窮大（9）（0＜絕對(duì)值＜1）的數(shù)開無(wú)窮大次冪為17.函數(shù)的連續(xù)性當(dāng)自變量趨于該點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)在該點(diǎn)鄰域連續(xù)，則函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點(diǎn)所取的值一致。8.“抓大頭”對(duì)于分式求極限，當(dāng)時(shí)，分子分母同除以最高次項(xiàng)，分出無(wú)窮小，再求極限9.求極限時(shí)遇到“0/0”將分式進(jìn)行因式分解10.利用泰勒公式求極限泰勒公式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法公式：（其中0!=1,??表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)

6、式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項(xiàng)，是(x-x0)n的高階無(wú)窮小，及Rn(x)為無(wú)窮小的余項(xiàng)。）當(dāng)xo=0，余項(xiàng)為佩亞諾余項(xiàng)（）時(shí)，公式化簡(jiǎn)為：例：求由于：故：（注：由于無(wú)窮小，故≈0）介紹Rn(x)的另一種表達(dá)（其中，θ∈(0,1)，p為任意正實(shí)數(shù)。（注意到p=n+1與p=1分別對(duì)應(yīng)拉格朗日余項(xiàng)與柯西余項(xiàng)））11.換元法，并注意新元在極限中趨向于哪個(gè)數(shù)12.夾逼法求極限F(x)與G(x)在Xo連續(xù)且存在相同的極限A，即x→Xo時(shí),limF(x)=limG(x)=A則若有函數(shù)f(x)在Xo的某鄰域內(nèi)恒有F(x)≤f(x)

7、≤G(x)則當(dāng)X趨近Xo,有l(wèi)imF(x)≤limf(x)≤limG(x)即　A≤limf(x)≤A故limf(Xo)=A簡(jiǎn)單的說(shuō)：函數(shù)A>B,函數(shù)B>C，函數(shù)A的極限是X，函數(shù)C的極限也是X，那么函數(shù)B的極限就一定是X，這個(gè)就是夾逼定理。例：