《求極限方法》word版

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1、求極限方法1.利用極限的四則運算法則（只適用于有限項數(shù)）?：?令?加減：數(shù)乘：?（其中c是一個常數(shù)）乘除：?(其中B≠0)冪運算：極限四則運算法則的條件是充分而非必要的?，因此，利用極限四則運算法則求函數(shù)極限時，必須對所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件?，滿足條件者。方能利用極限四則運算法則進(jìn)行求之。不滿足條件者?，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限?，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形?，使其符合條件后?，再利用極限四則運算法則求之。而對函數(shù)進(jìn)行恒等變形時，通常運用一些技巧如拆項、分子分母同時約去

2、零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。2.利用洛必達(dá)法則?洛必達(dá)(L?'Hopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.簡單講就是，在求一個含分式的函數(shù)的極限時，分別對分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為零比零或無窮比無窮的類型。利用洛必達(dá)求極限應(yīng)注意以下幾點：?設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：???（1）x→a時,lim?f(x)=0,lim?F(x)=0;????（2）在點a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo),且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0;????（3）x→a時,lim(f'(

3、x)/F'(x))存在或為無窮大????則?x→a時,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))?3.利用兩個重要極限：1、2、??或?應(yīng)用第一重要極限時?，必須同時滿足兩個條件：??分子、分母為無窮小?，即極限為?0?；②?分子上取正弦?的角必須與分母一樣。應(yīng)用第二重要極限時?，必須同時滿足四個條件：?①帶有“1”；?②?中間是“+?”號?；?③“+?”號后面跟無窮小量?；?④指數(shù)和“+?”號后面的數(shù)要互為倒數(shù)。4.利用等價無窮小代換定理??利用此定理求函數(shù)的極限時?，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時使用。若以和或差形式出現(xiàn)時，不要輕易代換?，

4、因為經(jīng)此代換后?，往往會改變無窮小之比的階數(shù)。例：求由于，且故有注?：?（1）在利用等價無窮小量代換求極限時，應(yīng)注意只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替代，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有()，?，而推出?則得到的式錯誤的結(jié)果．（2）代換時，被代換因式在上的導(dǎo)數(shù)值等于代換式在該點的導(dǎo)數(shù)值5.復(fù)合函數(shù)求極限6.無窮小運算法則（1）有限個無窮小的和差還是無窮小（0）（2）有限個無窮小的乘積還是無窮?。?）（3）常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小（0）（4）有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮?。?）（5）有界函數(shù)除以無窮大為0（

5、6）非零常數(shù)乘以無窮大為無窮大（7）絕對值小于1的數(shù)的無窮大次冪為0（8）絕對值大于1的數(shù)的無窮大次冪為無窮大（9）（0＜絕對值＜1）的數(shù)開無窮大次冪為17.函數(shù)的連續(xù)性當(dāng)自變量趨于該點時，若函數(shù)在該點鄰域連續(xù)，則函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點所取的值一致。8.“抓大頭”對于分式求極限，當(dāng)時，分子分母同除以最高次項，分出無窮小，再求極限9.求極限時遇到“0/0”將分式進(jìn)行因式分解10.利用泰勒公式求極限泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(x-x0)的n次多項式來逼近函數(shù)的方法公式：（其中0!=1,??表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項

6、式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項，是(x-x0)n的高階無窮小，及Rn(x)為無窮小的余項。）當(dāng)xo=0，余項為佩亞諾余項（）時，公式化簡為：例：求由于：故：（注：由于無窮小，故≈0）介紹Rn(x)的另一種表達(dá)（其中，θ∈(0,1)，p為任意正實數(shù)。（注意到p=n+1與p=1分別對應(yīng)拉格朗日余項與柯西余項））11.換元法，并注意新元在極限中趨向于哪個數(shù)12.夾逼法求極限F(x)與G(x)在Xo連續(xù)且存在相同的極限A，即x→Xo時,limF(x)=limG(x)=A則若有函數(shù)f(x)在Xo的某鄰域內(nèi)恒有F(x)≤f(x)

7、≤G(x)則當(dāng)X趨近Xo,有l(wèi)imF(x)≤limf(x)≤limG(x)即　A≤limf(x)≤A故limf(Xo)=A簡單的說：函數(shù)A>B,函數(shù)B>C，函數(shù)A的極限是X，函數(shù)C的極限也是X，那么函數(shù)B的極限就一定是X，這個就是夾逼定理。例：