3、x→x0g(x)limg(x)Bx→x0(IV)limcf(x)=climf(x)=cAx→x0x→x0(c為常數(shù))上述性質(zhì)對于x→∞,x→+∞,x→∞時(shí)也同樣成立x2+3x+5例:求limx→2x+4解:limx→2x2+3x+522+32+55==x+42+42003、約去零因式(此法適用于x→x0時(shí),型)例:求limx3x216x20x→2x3+7x2+16x+12解:原式=limx→2(x(x333x210x+(2x26x20)+5x2+6x+(2x2+10x+12)))=lim(x+2
4、)(x23x10)x→2(x+2)(x2+5x+6)2=lim(x5)(x+2)(x23x10)=lim2x→2(x+5x+6)x→2(x+2)(x+3)x5=7x+3=limx→24、通分法(適用于∞∞型)例:求lim(x→241)22x4x解:原式=lim4(2+x)x→2(2+x)(2x)(2x)x→2(2+x)(2x)11=x→22+x4=lim=lim5、利用無窮小量性質(zhì)法(特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質(zhì))設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足:(I)limf(x)=0x→x
5、0(II)g(x)≤M則:limg(x)f(x)=0x→x0(M為正整數(shù))例:求limxsinx→01x而解:由limx=0x→0sin1≤1x故原式=limxsinx→01=0x6、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。3(I)若:limf(x)=∞則lim1=0f(x)lim1=∞f(x)(II)若:limf(x)=0且f(x)≠0則例:求下列極限①limx→∞1x+5x→∞②limx→11x1limx→∞解:由由lim(x+5)=∞lim(x1)=0x→1故故1=0x+51lim=∞x→1x17、
6、等價(jià)無窮小代換法設(shè)α,α',β,β'都是同一極限過程中的無窮小量,且有:α~α,β~β,''α'lim'存在,βαα'=lim'ββ則limαβ也存在,且有l(wèi)im例:求極限lim1cosx2x→0x2sinx21cosx2~(x2)22解:sinx2~x2,(x2)21cosx1∴l(xiāng)im2=222=x→0xsinx22xx2注:在利用等價(jià)無窮小做代換時(shí),一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換,若以和、差出現(xiàn)時(shí),不要輕易代換,因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過代換后,往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個(gè)重要的極限
7、。4(A)limx→0sinx=1x1(B)lim(1+)x=ex→∞x但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(A')limsin(x)=1,((x)→0)(x)1(x)(B')lim(1+)=e,((x)→∞)(x)例:求下列函數(shù)極限ax1(1)、limx→0x(2)、limx→0lncosaxlncosbx解:()令ax1=u,則x=1ln(1+u)ax1ulna于是=lnaxln(1+u)又當(dāng)x→0時(shí),u→0故有:limax1ulnalnalna=lim=lim=lim=lna1x→0u→0ln(
8、1+u)u→0ln(1+u)u→0xln(1+u)uuln[(1+(cosax1)]x→0ln[1+(cosbx1)](2)、原式=limln[(1+(cosax1)]cosbx1x→0cosax1cosax1ln[1+(cosbx1)]cosbx1cosbx1=limx→0cosax1asin2x2αab2sin2x(x)2(x)2b22=lim2=lim2=2x→0x→0bba2sin2xsin2x(x)2a222b2(x)2=lim9、利用函數(shù)的連續(xù)性(適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限)。5求