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1、不盡的探索無窮的樂趣湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學(xué)趙國瑞引例如圖1,在ZUBC中，ZABC.ZACB的平分線相交于點(diǎn)0,試判斷ZB0C與Z4的關(guān)系？說明你的理rfl.解:ZBOC=90°+2ZA.理由：?.?30平分ZA3C,C0平分ZACB,2???Z1=【ZABC,Z2=jZACB.J..*.Z1+Z2=2(Z4BC+ZACB).在ZWC中，ZABC+ZACB=180°-ZA.22.?.Zl+Z2=j(180°-Z/l)=90o-2ZA.在△BOC屮，ZBOC=180°-(Z1+Z2)i2=18()°-(90°-2ZA)=90°+2ZA?由此我們得到這樣一個(gè)結(jié)論：結(jié)論1：
2、三角形兩內(nèi)角平分線的夾角等于笫三個(gè)內(nèi)角的一半的余角的補(bǔ)角.如果把題目中的內(nèi)角平分線，改為外角的平分線，那么ZBOC與乙4的關(guān)系又如何呢?探索一：如圖2,△ABC的外角ZC3M、ZBCN的平分線相交于點(diǎn)0,試判斷ZB0C與ZA的關(guān)系？說明你的理由.J.解：ZBOC=90°-2ZA?理由：TBO平分ZCBM,C0平分ZBCN,2：.Zl=jACBM.Z2=>ZBCN.1.?.Zl+Z2=J(ZCBM+ZBCW).?.?ZCBM=180°-ZABC,ZBCN=1SO°~ZACBf:.ACBM+ZBC/V=360°-(ZABC+ZACB)=360°-(180°-ZA)=180°+ZA.
3、.*.Z1+Z2=2(180°+ZA)=90°+JZA.在△BOC中，ZBOC=180°-(Z1+Z2)2=180°-(90°+2ZA)=90°-2ZA.說明：在計(jì)算ZCBM+ZBCN時(shí)，也可利用三角形的外角性質(zhì)，即ZCBM=ZA+ZACBfZBCN=ZA+ZABC,所以ZCBM+ZBCN二(ZA+ZACB+ZABC)+ZA=18(r+ZA.為了利用結(jié)論1，本題也nJ以這樣說明理由：如圖3,分別作ZABC和ZACB的平分線BP和CP,BP和CP相交于點(diǎn)P,根據(jù)“一對鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”(此結(jié)論留給同學(xué)們口己探索)，可得ZPBO=90G,ZPC0=90°.又四邊形PBOC的內(nèi)
4、角和等于360°,所以ZBOC=360°-90°-90°-ZBPC=180°-ZBPC.圖3J.利用結(jié)論1,可得ZBPC=90°+2ZA.22所以ZBOC=180°-(90°+2ZA)=90°-JZ4.由此我們得到這樣一個(gè)結(jié)論:結(jié)論2：三角形兩外角平分線的夾角等于與這兩外角不相鄰的內(nèi)角的一半的余角.以上分別是兩內(nèi)角平分線與兩外角平分線和交的情況，如果是一內(nèi)角的平分線與一外角的平分線相交，結(jié)果又會如何呢？探索二：如圖4,在△ABC中，內(nèi)角ZABC的平分線與外角ZACD的平分線相交于點(diǎn)O,試說明ZBOC與ZA的關(guān)系？說明你的理由.解：ZBOC=JZA.理山：TBO平分ZABC,CO
5、平分Z4CD,ZABC=2ZfZACD=2Z2.乂Z2是△BOC的外介，???Z2二Zl+ZBOC,即ZBOC=Z2-Z1.乂ZACD是AABC的外介，??.ZACD=ZABC+Z4,即ZA=ZACD-ZABC.ZA=2Z2-2Z1=2(Z2-Z1)=2ZBOC.1???ZBOC=2ZA.為了利用結(jié)論1，本題也町以這樣說明理由:1如圖5,作ZACB的平分線CP交30于點(diǎn)P,利用結(jié)論1可知ZBPC=9(T+2Z4.根據(jù)“-?対鄰補(bǔ)侑的平分線互相垂直”可知ZPCO=90。.乂ZBPC是SCO的外角，所以ZBPC=ZBOC+ZBPC,即90°+2ZA=ZBOC+90°.ZBOC=2
6、ZA.B為了利用結(jié)論2,本題也可以作AABC的外角平分線與CO的反向延長線相交于點(diǎn)P（如圖6）,易證CP是AABC的外角ZBCE的平分線，根據(jù)“一對鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”2可知ZPBO=90。.又由結(jié)論2可知ZBPC=90。-2ZA,所以Z30C=180。-ZPBO-Z22BPC=180°-90°-(90°-2ZA)=2ZA.圖6同學(xué)們，閱讀此文，你是否冇一種沉浸在不盡的探索和喜悅Z中，在探索的過程中，我們又利用探索出來的結(jié)論（或者叫做我們的小發(fā)明或小創(chuàng)造吧）去探索新的結(jié)論，你是否有一種小小的成就感呢？有人算過這樣一筆帳，一只蜜蜂要釀出一公斤蜂蜜，需要來回飛行大約三十萬公里，
7、吸吮大約一千二百萬個(gè)花朵的液汁.每次采集回來，述需要把液汁從胃里吐出來，由另一只蜜蜂吸到口己的胃里，如此吞吞吐吐一TT二十次到三TT四十以次，液汁才成為蜜汁，并最終變成濃稠的蜂蜜.山此門J見積累的重要性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也需耍積累.數(shù)學(xué)解題能力的提高，需耍積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，并適當(dāng)記住一些簡潔的結(jié)論，可以快速抓住問題的本質(zhì)，簡化思維過程，提話解題效率.快樂體驗(yàn):1.如圖7,BD平分ZABC,CD平分外角ZACE,乙4=70。，求ZZ）的度數(shù).￡1.如圖8,BD平分ZABC.CQ平分ZACB,ZA=7
