應用泛函分析

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1、科學版研究生教學叢書應用泛函分析姚澤清蘇曉冰鄭琴王在華編著北京內(nèi)容簡介本書是為工學研究生“應用泛函分析”課程而編寫的教材，全書共分六章，分別介紹實分析基礎、距離空間、賦范空間與Banach空間、內(nèi)積空間與Hilbert空間、有界線性算子的基本理論、有界線性算子的譜分析等內(nèi)容．全書概念簡潔，內(nèi)容緊湊，在強調(diào)泛函分析方法的概括性與應用的普適性的同時，突出數(shù)學思維方式的訓練和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，恢復數(shù)學自然、生動、充滿活力的本來面目．書中每節(jié)末都附有難易適中的習題，并在書末附有詳盡的習題答案，以供科技工作者自學和教師參考使用．本書的起點低，只需

2、要讀者具備高等數(shù)學和線性代數(shù)的基礎知識，可作為工學研究生和應用數(shù)學、信息與計算科學、應用物理等專業(yè)的本科生的教學用書，也可供對泛函分析方法有興趣的科技工作者閱讀．圖書在版編目（CIP）數(shù)據(jù)應用泛函分析／姚澤清等編著．—北京：科學出版社，２００７?。茖W版研究生教學叢書）ISBN９７８唱７唱０３唱０１９８４８唱８?、瘢畱、颍Α、螅汉治龀叩葘W校唱教材　Ⅳ．O１７７中國版本圖書館CIP數(shù)據(jù)核字（２００７）第１３５１１７號責任編輯：姚莉麗／責任校對：張怡君責任印制：張克忠／封面設計：陳敬出版北京東黃城根北街１６號郵政編碼：１００

3、７１７http：／／www．sciencep．com中國科學院印刷廠印刷科學出版社發(fā)行各地新華書店經(jīng)銷　倡２００７年９月第一版開本：B５（７２０×１０００）２００７年９月第一次印刷印張：１５１／４印數(shù)：１—３５００　　字數(shù)：２８９０００定價：20暢00元（如有印裝質(zhì)量問題，我社負責調(diào)換枙科印枛）前言泛函分析是從變分法、積分方程以及量子物理等的研究中發(fā)展起來的數(shù)學分支，形成于２０世紀３０年代．它綜合運用函數(shù)論、幾何學、代數(shù)學的觀點和方法來研究無限維向量空間（如函數(shù)空間）上的泛函、算子及其極限理論，并不斷地以其他眾多學科所提供的素材來提取

4、自己的研究對象，它在概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學、量子物理、最優(yōu)化理論、控制論和信號處理等學科中都有重要的應用，強有力地推動著其他關(guān)聯(lián)學科的發(fā)展．今天，它的空間理論、算子理論和譜理論等已經(jīng)滲透到不少工程技術(shù)性的學科中，成為近代分析的基礎之一．①泛函分析是Euclid空間上的微積分學和解析幾何學的自然延伸，實際上在高等數(shù)學中我們已經(jīng)接觸到泛函的概念，只是沒有挑明而已．例如，實連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上的積分bJ（f）＝∫f（x）dxa就是一個泛函數(shù)，它的取值是實數(shù)，但它的變元卻由實數(shù)變成了實函數(shù)．這種函數(shù)的函數(shù)是泛函分析最早研究

5、的對象，并隨著求形如bJ（y）＝∫F（x，y，y′）dxa的泛函的極值（即所謂變分法）而發(fā)展起來．歷史上最有名的泛函極值問題是John②Bernoulli在１６９６年提出的最速降線問題．③１６９７年JohnBernoulli的哥哥JamesBernoulli給出了最速降線問題的解答．它的基本問題是這樣的：設O和P是鉛直平面xOy內(nèi)的兩個點，一質(zhì)點在重力作用下從O點沿一曲線滑落到P點，假定無摩擦和其他阻力，曲線呈何形狀時其滑落的時間最短（見圖０唱１）？實際上，若設曲線方程為y＝y(tǒng)（x），則總圖０唱１　最速降線問題的下降時間為①歐幾里得（

6、約公元前３３０～前２７５年），古希臘數(shù)學家，歐幾里得幾何學的創(chuàng)始人．②約翰·伯努利（１６６７～１７４８年），瑞士數(shù)學家，變分法的創(chuàng)始人之一．③詹姆士·伯努利（１６５４～１７０５年），瑞士數(shù)學家，變分法和概率論的創(chuàng)始人之一．　·ii·前言a２ds１＋（y′）T（y）＝∫＝dx，Lv∫０v再由能量守恒定律１２mv＝mgy，２v＝２gy，就有a２１１＋（y′）T（y）＝∫dx，２g０y此即為y的一個泛函．可以證明，當y為擺線（旋輪線）x＝a（t－sint），y＝a（１－cost）時，T（y）取得極小值．隨著時間的推移，泛函分析的研究對象由泛

7、函推廣到一般的算子，研究范圍也遍及分析學的方方面面，并隨著線性算子的譜理論與量子力學中的譜分析驚人的一致而確定了自己的地位．泛函分析成為獨立的數(shù)學分支的兩大標志是：１９３２年①②出版的Banach的枟線性算子理論枠和vonNeumann的枟量子力學的數(shù)學基礎枠兩部劃時代著作．盡管泛函分析有著濃厚的應用背景，但很多學生在學習過程中卻感到其艱澀難懂，這是由于其高度的抽象性造成的．實際上，以解方程為例，無論是線性方程還是非線性方程，顯函數(shù)方程還是隱函數(shù)方程，常微分方程還是偏微分方程，在泛函分析中都被抽象為算子方程，而算子方程最終又被統(tǒng)一為方

8、程x＝Tx，從而使方程的求解問題轉(zhuǎn)化為求算子T的不動點問題．它在抽象過程中喪失了直觀，而又在更高層次上恢復了直觀，這正是泛函分析的奇妙之處．泛函分析是一門既能充分體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學思想和方法、體現(xiàn)數(shù)學的思維方式和思維過程，又具