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1、<<應用泛函分析>>考點一、判斷題（10分）1.開集、閉集的基本性質2.空間的完備性概念3.內(nèi)積空間與賦范空間的關系4.范數(shù)和內(nèi)積的關系5.勾股定理及逆命題6.可分空間的概念當內(nèi)積空間中有可數(shù)集A為稠集時，即A可數(shù)且時，X稱為可分空間。7.內(nèi)積的概念一種矢量運算，但其結果為某一數(shù)值，表示為,，X是F上的線性空間。8.范數(shù)的概念二、敘述概念及定理（16分）1.內(nèi)積空間 2.賦范線性空間3.列緊集：賦范空間X中集合A稱為列緊集，如果A中每一序列有某個收斂子序列?！?.自列緊：如果A中每一個序列有某個
2、收斂于A中點的子序列，則稱A是自列緊集。5.閉集6.線性算子 7.連續(xù)線性算子8.有界線性算子 9.緊線性算子 設X，Y都是賦范空間，是線性算子，如果T將X中每一有界集映成Y中的列緊集，則稱T為緊線性算子或全連續(xù)算子。10.Cauchy-Schwarz不等式11.平行四邊形公式 12.Hahn-Banach延拓定理設X是賦范線性空間.M是X的線性子空間,是M上的有界線性泛函.那末,存在X上的有界線性泛函,使得(1)（2）13.一致有界原理(共鳴原理)設X是Banach空間，Y是賦范空間，,即F是一族X到Y
3、的有界線性算子，則14開映射定理如果X，Y都是Banach空間，是連續(xù)線性滿射，則T是開映射。15.閉圖象定理 設X，Y都是Banach空間，是閉線性算子（即T是線性算子且圖象是閉集），則T是連續(xù)的。三、計算題（30分）1.能熟練建立兩個區(qū)間之間的一一對應.如：建立（0,1）與R之間的一一對應：2.會求線性泛函的范數(shù).==3.掌握線性空間不成為內(nèi)積空間的條件，并能舉例說明.內(nèi)積空間前三條性質：（1）對第一變元線性；（2）共軛對稱性：；（3）正定性：，且舉例：四、證明題（44分）1.能熟練證明一個線性空間是賦
4、范空間．證（1）三角不等式；（2）絕對齊性；（3）正定性2.熟練掌握Bessel不等式.如果是內(nèi)積空間X的標準正交系，且則證明：3.熟練掌握Cauchy-Schwarz不等式.X是內(nèi)積空間。4.熟練掌握極化恒等式.如X為實內(nèi)積空間，則如果X為復內(nèi)積空間，則有證明：5.熟練掌握A的正交補的性質.。證明：6.熟練掌握Hahn-Banach延拓定理以及推論.1.Hahn-Banach延拓定理：設X是賦范線性空間.M是X的線性子空間,是M上的有界線性泛函.那末,存在X上的有界線性泛函,使得(1)（2）推論1：如X是
5、賦范空間是X中線性無關子集，是任意給定的數(shù)，則存在使得證明：令,定義，由，則g是線性泛函，因M是有限維的，g在M上是有界的。令f是g在X上的保范線性延拓，即得所要求的結果。推論2：設X是賦范空間且，則證明：推論3：若對X上所有的有界線性泛函f均有f（x0）=0，則x0=0。證明：由推論2
6、f（x0）
7、==0故x0=0
