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《腫瘤細(xì)胞生長(zhǎng)規(guī)律與控制模型的研究》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、腫瘤細(xì)胞生長(zhǎng)規(guī)律及控制模型的研究【摘要】針對(duì)腫瘤在無(wú)限制生長(zhǎng)條件與腫瘤生長(zhǎng)在個(gè)體生理?xiàng)l件限制這兩種情況下,分別逐步推進(jìn)建立了Malthus模型與Logistic模型,并利用微分方程求解以及Matlab擬合實(shí)驗(yàn)計(jì)算得到以下結(jié)論:在腫瘤生長(zhǎng)初期符合Malthus模型,而在腫瘤生長(zhǎng)的中后期符合Logistic模型。并且進(jìn)一步得到放射性療法的規(guī)律,即對(duì)數(shù)殺滅,以及治療過(guò)程中的建議?!娟P(guān)鍵字】腫瘤增長(zhǎng)的Malthus模型腫瘤增長(zhǎng)的Logistic模型放射性治療的對(duì)數(shù)殺滅微分方程原理1問(wèn)題重述1.1問(wèn)題背景細(xì)胞生長(zhǎng)失控是腫瘤最基本的生物學(xué)行為。惡性腫瘤的生長(zhǎng)呈現(xiàn)相
2、對(duì)無(wú)限制性,在晚期的癌癥患者體質(zhì)極差的情況下,腫瘤細(xì)胞照生長(zhǎng)不誤。因此,腫瘤細(xì)胞的生長(zhǎng)失控是腫瘤一切惡性行為的生物學(xué)基礎(chǔ),研究腫瘤的生長(zhǎng)生物學(xué)在腫瘤防治中具有極其重要的作用。1.2問(wèn)題描述腫瘤在生長(zhǎng)過(guò)程中的特點(diǎn)并不是一成不變的,故需要針對(duì)不同時(shí)期的腫瘤細(xì)胞增殖特點(diǎn),建立不同的數(shù)學(xué)模型,并尋找最佳治療時(shí)間與治療措施,本文以肺部腫瘤細(xì)胞為例。2問(wèn)題分析對(duì)腫瘤的防治除了在病因?qū)W上積極做好工作,另外主要就是“三早”措施,我們就“早期發(fā)現(xiàn)”結(jié)合模型做重點(diǎn)的分析與研究。發(fā)現(xiàn)細(xì)胞癌變的途徑主要有兩種。第一種是通過(guò)檢測(cè)血液與體液中的腫瘤標(biāo)志物的濃度可以有效地反映病情的
3、狀況,即腫瘤越大或者越晚期,腫瘤標(biāo)志物的濃度越高。第二種則是通過(guò)X線(xiàn)、B超或CT測(cè)出腫瘤的直徑,并且,只有當(dāng)腫瘤生長(zhǎng)到一定的體積,才可利用現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器檢測(cè)。目前,檢查腫瘤最好的設(shè)備目前是PET/CT檢查,可以發(fā)現(xiàn)直徑大于0.5cm的腫瘤病灶,使得患者得以早發(fā)現(xiàn)早治療。在此我們主要研究第二種方法,因此,我們需要分析腫瘤體積(或直徑)與時(shí)間的關(guān)系,并從較簡(jiǎn)單的模型入手,逐步遞進(jìn),使模型逐步優(yōu)化,更好的刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題。3.模型假設(shè)在建立模型之前,做如下的基本假設(shè):1.假設(shè)腫瘤細(xì)胞前期不凋亡,不轉(zhuǎn)移;2.腫瘤體積的變化率與腫瘤當(dāng)前的體積成正比;3.在腫瘤生長(zhǎng)中后
4、期,由于生理?xiàng)l件的限制,腫瘤的數(shù)量逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定值。4符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明如表1所示符號(hào)說(shuō)明Vtt時(shí)刻腫瘤的體積t時(shí)刻tV0t0時(shí)刻腫瘤的體積D腫瘤的直徑r單位時(shí)間內(nèi)腫瘤的增長(zhǎng)率α、β相關(guān)系數(shù)Vm腫瘤的最大體積t'腫瘤體積增大一倍所需的時(shí)間F放射性治療的殺滅率5模型的建立與求解5.1Malthus模型的建立與求解1)記t時(shí)刻腫瘤的體積為Vt,在一定時(shí)間?t內(nèi),Vt的增量?V=Vt+?t-V(t),即t時(shí)刻到t+?t時(shí)刻的體積增量為Vt+?t-Vt=rV(t)?t,即:lim?t→0Vt+?t-V(t)Δt=dVdt=rVt(?t≠0)并得到如下方程:dV
5、dt=rV(t)V0=V0分離變量求解得:Vt=V0er(t-t0)其中t0為初始時(shí)刻,V0為腫瘤的初始體積。2)腫瘤的直徑比腫瘤的體積更容易測(cè)出。將腫瘤近似地看成一個(gè)球體,利用球的體積公式:V=π6D3(D為直徑)可得:D=D0ert-t0T=t-t0易見(jiàn)該模型服從指數(shù)模型,即Malthus模型。5.2Logistic模型的建立與求解根據(jù)Malthus模型,我們考慮體內(nèi)營(yíng)養(yǎng)供應(yīng)是有限的,隨著腫瘤數(shù)的增多,腫瘤細(xì)胞的增長(zhǎng)速度會(huì)慢慢減小,故對(duì)中晚期腫瘤增長(zhǎng)的更好描述是Logistic模型,即:dVdt=αV-βV2,其解為:V(t)=αβ+αV0-βe-
6、αt并設(shè)Vm是腫瘤的最大體積,則β=αVm,則方程為:dVdt=αVt1-VtVm求解得:Vt=Vm1+VmV0-1e-rt-t0該表達(dá)式更加貼切的描述了中晚期腫瘤細(xì)胞的體積V與時(shí)間t的關(guān)系。6結(jié)果分析及結(jié)論Malthus模型適用于分析腫瘤細(xì)胞增長(zhǎng)前期的體積與時(shí)間的關(guān)系及增長(zhǎng)速率,而Logistic模型則適用于腫瘤細(xì)胞中后期增長(zhǎng)的特征分析;6.1Malthus模型再分析根據(jù)Malthus模型的特征,腫瘤體積增大一倍所需要的時(shí)間是一個(gè)常數(shù)t',t'是腫瘤生長(zhǎng)的一個(gè)重要的參數(shù)。Nathan等人統(tǒng)計(jì)了177例肺部腫瘤病人的依據(jù),發(fā)現(xiàn)腫瘤體積增大一倍的時(shí)間均在
7、7~465之間,他們認(rèn)為,當(dāng)肺部腫瘤體積增倍時(shí)間位于[7,465]之間時(shí)應(yīng)懷疑其為肺癌,t'<7時(shí)常為感染或炎癥,t'>465則常為良性腫瘤。根據(jù)計(jì)算,我們也可得到t'的值:由Malthus模型可得:在t1、t2時(shí)刻的細(xì)胞體積分別為V1=V0er(t1-t0)、V2=V0er(t2-t0)假設(shè)V2=2V1,可得:t'=t2-t1=ln2r故腫瘤細(xì)胞體積增大一倍所需時(shí)間為t'=ln2r(其中r為增長(zhǎng)率)。根據(jù)Malthus模型,我們可以得出一個(gè)直徑為10μm,重為0.001μg的腫瘤細(xì)胞由初始形成到臨床上可檢測(cè)出的直徑1cm的腫塊約需經(jīng)過(guò)30次倍增,而從
8、直徑1cm到置人于死地的1kg的癌癥腫塊體積約增大1000倍,只需經(jīng)過(guò)10次倍增。這說(shuō)明癌癥在