腫瘤細胞生長規(guī)律與控制模型的研究

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1、腫瘤細胞生長規(guī)律及控制模型的研究【摘要】針對腫瘤在無限制生長條件與腫瘤生長在個體生理條件限制這兩種情況下，分別逐步推進建立了Malthus模型與Logistic模型，并利用微分方程求解以及Matlab擬合實驗計算得到以下結(jié)論：在腫瘤生長初期符合Malthus模型，而在腫瘤生長的中后期符合Logistic模型。并且進一步得到放射性療法的規(guī)律，即對數(shù)殺滅，以及治療過程中的建議。【關鍵字】腫瘤增長的Malthus模型腫瘤增長的Logistic模型放射性治療的對數(shù)殺滅微分方程原理1問題重述1.1問題背景細胞生長失控是腫瘤最基本的生物學行為。惡性腫瘤的生長呈現(xiàn)相

2、對無限制性，在晚期的癌癥患者體質(zhì)極差的情況下，腫瘤細胞照生長不誤。因此，腫瘤細胞的生長失控是腫瘤一切惡性行為的生物學基礎，研究腫瘤的生長生物學在腫瘤防治中具有極其重要的作用。1.2問題描述腫瘤在生長過程中的特點并不是一成不變的，故需要針對不同時期的腫瘤細胞增殖特點，建立不同的數(shù)學模型，并尋找最佳治療時間與治療措施，本文以肺部腫瘤細胞為例。2問題分析對腫瘤的防治除了在病因?qū)W上積極做好工作，另外主要就是“三早”措施，我們就“早期發(fā)現(xiàn)”結(jié)合模型做重點的分析與研究。發(fā)現(xiàn)細胞癌變的途徑主要有兩種。第一種是通過檢測血液與體液中的腫瘤標志物的濃度可以有效地反映病情的

3、狀況，即腫瘤越大或者越晚期，腫瘤標志物的濃度越高。第二種則是通過X線、B超或CT測出腫瘤的直徑，并且，只有當腫瘤生長到一定的體積，才可利用現(xiàn)代醫(yī)學儀器檢測。目前，檢查腫瘤最好的設備目前是PET/CT檢查，可以發(fā)現(xiàn)直徑大于0.5cm的腫瘤病灶，使得患者得以早發(fā)現(xiàn)早治療。在此我們主要研究第二種方法，因此，我們需要分析腫瘤體積（或直徑）與時間的關系，并從較簡單的模型入手，逐步遞進，使模型逐步優(yōu)化，更好的刻畫實際問題。3.模型假設在建立模型之前，做如下的基本假設：1.假設腫瘤細胞前期不凋亡，不轉(zhuǎn)移；2.腫瘤體積的變化率與腫瘤當前的體積成正比；3.在腫瘤生長中后

4、期，由于生理條件的限制，腫瘤的數(shù)量逐漸趨于一個穩(wěn)定值。4符號說明符號說明如表1所示符號說明Vtt時刻腫瘤的體積t時刻tV0t0時刻腫瘤的體積D腫瘤的直徑r單位時間內(nèi)腫瘤的增長率α、β相關系數(shù)Vm腫瘤的最大體積t'腫瘤體積增大一倍所需的時間F放射性治療的殺滅率5模型的建立與求解5.1Malthus模型的建立與求解1）記t時刻腫瘤的體積為Vt，在一定時間?t內(nèi),Vt的增量?V=Vt+?t-V(t)，即t時刻到t+?t時刻的體積增量為Vt+?t-Vt=rV(t)?t,即：lim?t→0Vt+?t-V(t)Δt=dVdt=rVt(?t≠0)并得到如下方程：dV

5、dt=rV(t)V0=V0分離變量求解得：Vt=V0er(t-t0)其中t0為初始時刻，V0為腫瘤的初始體積。2）腫瘤的直徑比腫瘤的體積更容易測出。將腫瘤近似地看成一個球體，利用球的體積公式：V=π6D3(D為直徑）可得：D=D0ert-t0T=t-t0易見該模型服從指數(shù)模型，即Malthus模型。5.2Logistic模型的建立與求解根據(jù)Malthus模型，我們考慮體內(nèi)營養(yǎng)供應是有限的，隨著腫瘤數(shù)的增多，腫瘤細胞的增長速度會慢慢減小，故對中晚期腫瘤增長的更好描述是Logistic模型，即：dVdt=αV-βV2,其解為：V(t)=αβ+αV0-βe-

6、αt并設Vm是腫瘤的最大體積，則β=αVm，則方程為：dVdt=αVt1-VtVm求解得：Vt=Vm1+VmV0-1e-rt-t0該表達式更加貼切的描述了中晚期腫瘤細胞的體積V與時間t的關系。6結(jié)果分析及結(jié)論Malthus模型適用于分析腫瘤細胞增長前期的體積與時間的關系及增長速率，而Logistic模型則適用于腫瘤細胞中后期增長的特征分析；6.1Malthus模型再分析根據(jù)Malthus模型的特征，腫瘤體積增大一倍所需要的時間是一個常數(shù)t',t'是腫瘤生長的一個重要的參數(shù)。Nathan等人統(tǒng)計了177例肺部腫瘤病人的依據(jù)，發(fā)現(xiàn)腫瘤體積增大一倍的時間均在

7、7～465之間，他們認為，當肺部腫瘤體積增倍時間位于[7,465]之間時應懷疑其為肺癌，t'<7時常為感染或炎癥，t'>465則常為良性腫瘤。根據(jù)計算，我們也可得到t'的值：由Malthus模型可得：在t1、t2時刻的細胞體積分別為V1=V0er(t1-t0)、V2=V0er(t2-t0)假設V2=2V1，可得:t'=t2-t1=ln2r故腫瘤細胞體積增大一倍所需時間為t'=ln2r(其中r為增長率)。根據(jù)Malthus模型，我們可以得出一個直徑為10μm，重為0.001μg的腫瘤細胞由初始形成到臨床上可檢測出的直徑1cm的腫塊約需經(jīng)過30次倍增，而從

8、直徑1cm到置人于死地的1kg的癌癥腫塊體積約增大1000倍，只需經(jīng)過10次倍增。這說明癌癥在