人教版高中數(shù)學(xué)必修3全套教案設(shè)計(jì)

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1、實(shí)用文檔教學(xué)過(guò)程第1課時(shí)案例1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)導(dǎo)入新課思路1(情境導(dǎo)入)大家喜歡打乒乓球吧,由于東、西方文化及身體條件的不同,西方人喜歡橫握拍打球,東方人喜歡直握拍打球,對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題,東、西方人處理問(wèn)題方式是有所不同的.在小學(xué),我們學(xué)過(guò)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法:先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái).當(dāng)兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時(shí)(如8251與6105),使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法——輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),由此可以體會(huì)東、西方文化的差異.思路2(直接導(dǎo)入)前面我們學(xué)習(xí)了算法步驟、程序框圖和

2、算法語(yǔ)句.今天我們將通過(guò)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)來(lái)進(jìn)一步體會(huì)算法的思想.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題(1)怎樣用短除法求最大公約數(shù)?(2)怎樣用窮舉法(也叫枚舉法)求最大公約數(shù)?(3)怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)?(4)怎樣用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)?討論結(jié)果:(1)短除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟:先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是兩個(gè)互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái).(2)窮舉法(也叫枚舉法)窮舉法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟:從兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉,直到找到公約數(shù)立即中斷列舉,得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù).(3)輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

3、,其算法步驟可以描述如下:第一步,給定兩個(gè)正整數(shù)m,n.第二步,求余數(shù)r:計(jì)算m除以n,將所得余數(shù)存放到變量r中.第三步,更新被除數(shù)和余數(shù):m=n,n=r.第四步,判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0,則輸出結(jié)果;否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行.如此循環(huán),直到得到結(jié)果為止.這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫歐幾里得算法.(4)更相減損術(shù)我國(guó)早期也有解決求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法,就是更相減損術(shù).《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著,其中的“更相減損術(shù)”也可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也.以等數(shù)約之.”翻譯為現(xiàn)代

4、語(yǔ)言如下:第一步,任意給定兩個(gè)正整數(shù),判斷它們是否都是偶數(shù),若是,用2約簡(jiǎn);若不是,執(zhí)行第二步.第二步,以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù),繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).應(yīng)用示例例1用輾轉(zhuǎn)相除法求8251與6105的最大公約數(shù),寫出算法分析,畫出程序框圖,寫出算法程序.解:用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù),求得商和余數(shù):8251=6105×1+2146.由此可得,6105與2146的公約數(shù)也是8251與6105的公約數(shù),反過(guò)來(lái),8251與6105的公約數(shù)也是6105與2146的公約數(shù),所以它

5、們的最大公約數(shù)相等.文案大全實(shí)用文檔對(duì)6105與2146重復(fù)上述步驟:6105=2146×2+1813.同理,2146與1813的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復(fù)上述步驟:2146=1813×1+333,1813=333×5+148,333=148×2+37,148=37×4.最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù),也就是8251與6105的最大公約數(shù).這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道,對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),上述除法步驟總可以在有限步之后完成,從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù).算法分析:從上面的例子可以看出,輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復(fù)操作的步驟,因此

6、可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造算法.算法步驟如下:第一步,給定兩個(gè)正整數(shù)m,n.第二步,計(jì)算m除以n所得的余數(shù)為r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,則m,n的最大公約數(shù)等于m;否則,返回第二步.程序框圖如下圖:程序:INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND點(diǎn)評(píng):從教學(xué)實(shí)踐看,有些學(xué)生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過(guò)程,例如:求8251與6105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6105與2146的公約數(shù).因?yàn)?251=6105×1+2146,可以化為8251-6105×1=2164,所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù),即6105與2146的公約數(shù)也是825

7、1與6105的公約數(shù).變式訓(xùn)練你能用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法,求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎?試畫出程序框圖和程序.解:當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖:文案大全實(shí)用文檔程序:INPUTm,nr=1WHILEr>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解:由于63不是偶數(shù),把98和63以大數(shù)減小數(shù),并輾轉(zhuǎn)相減,如下圖所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7

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