人教版高中數(shù)學必修3全套教案設計

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1、實用文檔教學過程第1課時案例1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術導入新課思路1（情境導入）大家喜歡打乒乓球吧，由于東、西方文化及身體條件的不同，西方人喜歡橫握拍打球，東方人喜歡直握拍打球，對于同一個問題，東、西方人處理問題方式是有所不同的.在小學，我們學過求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來.當兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時（如8251與6105），使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法——輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術,由此可以體會東、西方文化的差異.思路2（直接導入）前面我們學習了算法步驟、程序框圖和

2、算法語句.今天我們將通過輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術來進一步體會算法的思想.推進新課新知探究提出問題（1）怎樣用短除法求最大公約數(shù)？（2）怎樣用窮舉法（也叫枚舉法）求最大公約數(shù)？（3）怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)？（4）怎樣用更相減損術求最大公約數(shù)？討論結(jié)果：（1）短除法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來.（2）窮舉法（也叫枚舉法）窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù).（3）輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)

3、，其算法步驟可以描述如下：第一步，給定兩個正整數(shù)m，n.第二步，求余數(shù)r：計算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中.第三步，更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r.第四步，判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行.如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止.這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫歐幾里得算法.（4）更相減損術我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術.《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，其中的“更相減損術”也可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”翻譯為現(xiàn)代

4、語言如下：第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)，若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).應用示例例1用輾轉(zhuǎn)相除法求8251與6105的最大公約數(shù),寫出算法分析，畫出程序框圖，寫出算法程序.解：用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)：8251=6105×1+2146.由此可得，6105與2146的公約數(shù)也是8251與6105的公約數(shù)，反過來，8251與6105的公約數(shù)也是6105與2146的公約數(shù)，所以它

5、們的最大公約數(shù)相等.文案大全實用文檔對6105與2146重復上述步驟：6105=2146×2+1813.同理，2146與1813的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復上述步驟：2146=1813×1+333，1813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8251與6105的最大公約數(shù).這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道，對于任意兩個正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個正整數(shù)的最大公約數(shù).算法分析：從上面的例子可以看出，輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復操作的步驟，因此

6、可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法.算法步驟如下：第一步，給定兩個正整數(shù)m，n.第二步，計算m除以n所得的余數(shù)為r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.程序框圖如下圖：程序：INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND點評：從教學實踐看，有些學生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過程，例如：求8251與6105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6105與2146的公約數(shù).因為8251=6105×1+2146，可以化為8251-6105×1=2164，所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù)，即6105與2146的公約數(shù)也是825

7、1與6105的公約數(shù).變式訓練你能用當型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試畫出程序框圖和程序.解：當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖：文案大全實用文檔程序：INPUTm，nr=1WHILEr＞0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND例2用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7