離心率材料（2）探究圓錐曲線中離心率的問題

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1、探究圓錐曲線中離心率的問題離心率是圓錐曲線屮的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)，下面給同學(xué)們介紹常用的四種解法。一、直接求出a、b、c之二，求解e已知標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時(shí)，可利用離心率公式e=-來求解。a已知a>b易求時(shí)，可利用e=—求橢圓離心率；用J1+T（其中k為漸近線的斜率）求雙曲線離心率。近線分別相交于點(diǎn)B、C,例1?過雙曲線C：x2-^T=l（b>0）的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線/,若/與雙曲線M的兩條漸b_JzLlABI=IBCI,則雙Illi線M的離心率是（）B.分析：這里的3=1,C=Vb2+l,故關(guān)鍵是求II!b2,即可利用定義求解。解：易知A（?l,0）,

2、則直線/的方程為y=x+lo直線與兩條漸近線y=-bx和y=bx的交點(diǎn)分別為B（-一，丄）、C（丄，上），又IABITBCI,可解得b?=9,貝丘=価故有e=￡=廊，b+lb+lb-lb-la從而選Ao2.已知雙］

3、

4、

5、線茸一4=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=，則雙

6、11

7、線的離心率為a2b23D1分析：本題已硝嶺不能直接求出a、c可用整體代入套用公式。解：由《=￡如+夕aJ1+，（其中k為漸近線的斜率）。這里r則吩彳+（$弓從而選a。二、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱笫二定義）知離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比,特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問

8、題。例3?在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為血，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為（）A.V2解：山過焦點(diǎn)H垂直于長軸的弦乂稱為通徑，設(shè)焦點(diǎn)為F,則MF丄x軸，知IMFI是通徑的一半,則^

9、MFI=—o由圓錐Illi線統(tǒng)一定義，得離心率e=^=—,從而選B。2d2三、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、cZ間的關(guān)系，構(gòu)造出a、c的齊次式，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程，通過解方程得出離心率e的值，這也是常用的一種方法。例4.己知耳、F?是雙曲線?-￡=l(a>0,b>0)的兩焦點(diǎn)，以線段FR為邊作正4MF,F2,若?a~b~「邊MF

10、的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲

11、線的離心率是()A.4+2巧B.V3-1C.-D.V3+12解：如圖，設(shè)IOF,l=c,MFj的中點(diǎn)為P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為C1一—，ililPFjh-IF.^^c,山焦半徑公式IPF,l=-exp-a,g

12、Jc=--x(--)-a,^-c2-2a2-2ac=0,e2-2e-2=0,a2解得c=1+V3,e=1-V3(舍去),故選Do【練一練】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F】、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若4F]PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是(D)A.返2B.近_C.2V2D.V212解：由"廠=—=2cn一L=2aca化為齊次式孑+2e-1=0=>e=a/2-

13、1【高考試題分析】1.(2009全國卷I)設(shè)雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x24-1相切，則該雙曲線的離心率等于(C)(C)V5(D)V6(A)V3(B)2解：漸進(jìn)線的斜率與拋物線切線的斜率相等。設(shè)切點(diǎn)戶(忑,兒)，則切線的斜率為yU(=2x0.由題意有-^=2x0又兒=兀。2+1%，解得：V=l,/.-=2^=Jl+(-)2=V5.avci由題雙曲線計(jì)一右=l(d>o,b>0)的一條漸近線方程為y=牛,代入拋物線方程整理得ax2-bx^a=0,因漸近線與拋物線相切，所以b2-4a2=0f即c2=5a2e=^5f222.（2009浙江理）過雙Illi線二-■=l

14、（a>0,b>0）的右頂點(diǎn)A作斜率為一1的直線，該直線與雙xlr—1—曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為5C.若仙飛眈，則雙曲線的離心率是（A.a/2B.V3c.V5D.Vio答案：c【解析】對(duì)于A（d,O）,則直線方程為x^y-a=O,直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B,C,ab、a+b丿，C&ab),而a-ba-ba-bab、a+b丿因jit2AB=BC,:.4(72=b2e=a/5.223.（2009浙江文）已知橢圓二+與=l（d>b>0）的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,cTb點(diǎn)B在橢圓上,且BF丄兀軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P.若AP=2PB,則橢闘的離心率是（1C.—3D.【解析】對(duì)于橢圓,因?yàn)?/p>

15、AP=2PB,則0A=20F、；?a=2c1e=—24.（2009山東卷理）設(shè)雙曲線二a~9的-條漸近線與拋物線y=x2+l只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）.5A.-4B.5C.D.V5【解析】：雙Illi線二a2b1的一條漸近線為y=-xf由方程組