一道高考填空題的解法探究

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1、一道高考填空題的解法探究?中學數(shù)學論文一道高考填空題的解法探究賈周德（贛榆中等專業(yè)學校，江蘇連云港222100）摘要:本文探究了一道高考填空題的多種解法，開擴了學生的解題思路，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維.教學實踐證明，在數(shù)學教學中開展一題多解訓練，有利于學生掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本方法，提高解題能力。關(guān)鍵詞:基本不等式；判別式；三角換元；幾何；導數(shù)中圖分類號:G633文獻標識碼：A文章編號:1005-6351（2013）-11-0020-01在數(shù)學教學中,筆者引導學生對下面一道高考填空題的解法作了一番探究z得到了多種不同的解法，現(xiàn)總結(jié)如下，供解題參考。題目：設(shè)

2、xyz為正實數(shù)，滿足x-2y+3z=0,則y2xz的最小值是。（2008年江蘇高考數(shù)學卷第11題）基本不等式法解法1:由x?2y+3z=0,得y=x+3z2.將此式代入y2xz中，整理得y2xz二x4z+9z4x+32.由題設(shè)知,x4乙9z4x均為正實數(shù)，由基本不等式，得x4z+9z4x+32>2x4z.9z4x+32=3Z即y2xz>3（當x=y=3z時，取"二”）,所以y2xz的最小值是3.點評：上述解法1是用基本不等式ab0zb>0）求解的。本題也可以這樣解，將已知等式化為y二x+3z2,由基本不等式得y>3xz0,即y2xzn3

3、,從而得解。利用基本不等式求最值時，要注意滿足〃一正數(shù)、二定值、三相等〃的條件。二、判別式法解法2設(shè)y2xz=t（tO）則y2=txz.由已知等式猖y二x+3z2將此式代入y2=txz中，整理得（xz）2+（6?4t）xz+9=0.因為這個關(guān)于xz的二次方程有正實數(shù)根，所以判別式△二（6?4t）2?36R,解得t>3或tsO（舍去），即y2xz>3（當x=y=3z時，取〃二〃）.所以y2xz的最小值是3.點評：上述解法2是將y2xz用新變量t表示，結(jié)合已知等式，用代入法消去y,整理得關(guān)于xz的二次方程，從而利用〃判別式法〃得解?利用判別式法求函數(shù)的最值

4、時，要注意檢驗其結(jié)論的正確性，防止岀現(xiàn)〃誤判〃或〃漏判〃的情形.三、三角換元法解法3:將x?2y+3z=0化為x2y+3z2y=l.令x2y=cos20/3z2y=sin29/0G（O/n2）.兩式相乘并整理，得y2xz二3sin228因為20曰0,町所以lsin2241，于是y2xzn3.當0二tt4時,lsin220取最小值匕從而y2xz取最小值3,此時x二y二3z.所以y2xz的最小值是3.點評:上述解法3是將已知等式化為x2y+3z2y=l,利用三角換元法把問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題而得解的。這里得出x2y+3z2y=l后,也可以利用基本不

5、等式求解。四、幾何法解法4:作線段AP二x,延長AP至點B,使PB=3z,則AB=x+3z=2y（xzyzz為正實數(shù)）.以線段AB為直徑作圓0（如圖）/乍半徑0C,使0C丄AB,則OC=y.過點P作PE丄AB,交圓0于點E,則3xz二PE2SOC2,即3xzSy2,所以y2xz>3顯然當點P與圓心0重合時，此不等式取〃二〃，此時x二y=3z.所以y2xz的最小值是3.點評上述解法4是通過作圓，在圓中創(chuàng)造條件利用幾何平均值ab的幾何意義,得3xz二PE2,再根據(jù)〃半弦不大于半徑〃而得解。五、導數(shù)法解法5:設(shè)y2xz=t(tO),由上述解法1知,t=x4z

6、+9z4x+32?令xz二u(uO),則t=u4+94u+32(u0)將此函數(shù)記為t二g(u),uW(0,+8).求導數(shù)g'(u),由g,(u)=14?94u2二0,解得ul=3zu2=?3(舍).當uW(0,3)時，g'(u)0;當UW0+8)時，g'(u)0.所以函數(shù)t=g(u)在u=3處取得極小值3(唯一),也是最小值?所以y2xz的最小值是3.點評:上述解法5是通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最值問題，從而利用〃導數(shù)法〃得解。應(yīng)用導數(shù)法求函數(shù)的最值時，要注意檢驗，正確判斷函數(shù)的最值。通過此題多種解法的探究，開擴了學生的解題思路，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)

7、新思維，收到了良好的教學效果。教學實踐證明，在數(shù)學教學中開展一題多解訓練，有利于學生掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本方法,有利于培養(yǎng)學生的解題能力和探索精神。參考文獻：[1]單埴?普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5(必修)[M].江蘇教育出版社,2005.[2]徐小伍?利用平均值不等式解題的誤區(qū)[J]?中學數(shù)學教學,2000,(2).[3]單埴.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學（選修1-1）[M].江蘇教育出版社,2005.