四年級(jí)奧數(shù)高斯求和問(wèn)題.doc

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1、小學(xué)奧數(shù)專題——高斯求和德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過(guò)人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？　　老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來(lái)小高斯通過(guò)細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。　　1～100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為?。?+100）×100÷2＝5050?！　⌒「咚故褂玫倪@種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用

2、于“等差數(shù)列”的求和問(wèn)題。　　若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71?！　∑渲校?）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：若干個(gè)數(shù)排成一列稱

3、為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。在這一章要用到兩個(gè)非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”。通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)－1）×公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。例1、1＋2＋3＋…＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得　　原式=（1＋1

4、999）×1999÷2＝1999000。　　注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2、11＋12＋13＋…＋31＝？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11＋1＝21（項(xiàng)）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。例3、3＋7＋11＋…＋99＝？分析與解：3，

5、7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例4、求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問(wèn)題。例5、求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和?！舅悸穼?dǎo)航】這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計(jì)算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項(xiàng)數(shù)是多少：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1=（50－2）÷2+1=2

6、5首項(xiàng)=2.末項(xiàng)=50，項(xiàng)數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）×25÷2=650.例6、計(jì)算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）【思路導(dǎo)航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)數(shù)列其實(shí)是把1～100這100個(gè)數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)等差數(shù)列，每個(gè)數(shù)列都有50個(gè)項(xiàng)。因此，我們也可以把這兩個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)相減，可得到50個(gè)差，再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+

7、…+（100－99）=1+1+1+…+1=50小學(xué)奧數(shù)專題——高斯求和專題練習(xí)1、有這樣一個(gè)數(shù)列：1.2.3.4，…，99，100。請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和。2、求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和。3、計(jì)算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）4、求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。5、100+99+98+…+61+60四年級(jí)奧數(shù)專題——高斯求和練習(xí)題答案1、有這樣一個(gè)數(shù)列：1.2.3.4，…，99，100。請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和?！舅悸穼?dǎo)航】如果我們把1.2.3.4，…，99，100與列

8、100，99，…，3.2.1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個(gè)小括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)的和都是101.一共有100個(gè)101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.就是所求數(shù)列的和。1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5