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1、勤學(xué)好問必有所獲第二章隨機變量的分布及其數(shù)字特征隨機變量與隨機變量分布函數(shù)離散型隨機變量及其分布幾個常用的概率分布隨機變量函數(shù)的分布概率論隨機變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機變量及其分布隨機變量與隨機變量分布函數(shù)一、隨機變量為了更有效的研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律,需要引入微積分作為工具,這就需要用變量的形式來表達隨機現(xiàn)象。先考察下列兩個隨機試驗的例子例2.11某人拋擲一枚骰色子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)。試驗結(jié)果的事件表達形式:出現(xiàn)1點;出現(xiàn)2點;出現(xiàn)3點;出現(xiàn)4點;出現(xiàn)5點;出現(xiàn)6點。如果令表示出現(xiàn)的點數(shù),則的可能取值為于是,試驗結(jié)果
2、的變量表示為:“出現(xiàn)1點”;“出現(xiàn)2點”“出現(xiàn)3點”;“出現(xiàn)4點”“出現(xiàn)5點”;“出現(xiàn)6點”例2.12某人擲硬幣試驗,觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。試驗結(jié)果的事件表達形式:RandomVariable國徽面在上面;有字面在上面如果表示國徽面在上面,表示有字面在上面。于是,試驗結(jié)果的變量表示為:“國徽面在上面”;“有字面在上面”特點:試驗結(jié)果數(shù)量化了,試驗結(jié)果與數(shù)建立了對應(yīng)關(guān)系。1.Def設(shè)隨機試驗的樣本空間為,如果對于每一個樣本點,均有唯一的實數(shù)與之對應(yīng),稱為樣本空間上的隨機變量。隨機變量的兩個特征:1)它是一個
3、變量;2)它的取值隨試驗結(jié)果而改變;3)隨機變量在某一范圍內(nèi)取值,表示一個隨機事件。設(shè)為一個隨機變量,對于任意實數(shù),則集合是隨機事件,隨著變化,事件也會變化。這說明該事件是實變量的“函數(shù)”。2.隨機變量舉例與分類隨機變量實例:例2.13某人拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)。的可能取值為。例2.14某個燈泡的使用壽命。的可能取值為。例2.15一部電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。的可能取值為。例2.16在區(qū)間上隨機移動的點,該點的坐標。的可能取值為。隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量有限或無窮可列取值連續(xù)型
4、非連續(xù)型無窮且不可列取值二、分布函數(shù)1.隨機變量的概率分布Def能反映隨機變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達式稱為隨機變量的概率分布律,簡稱概率分布。概率分布的常用表達方式有:分布函數(shù)(“通用型”);概率函數(shù)或概率密度函數(shù)(“針對型”)。2.分布函數(shù)概念Def設(shè)為隨機變量,為任意實數(shù),則稱為隨機變量的分布函數(shù)。其定義域為。顯然,分布函數(shù)是一個特殊的隨機事件的概率。3.分布函數(shù)的性質(zhì)(1)對于任意有(非負有界性);(2)(規(guī)范性);(3)對于任意有(單調(diào)性);(4)在每一點至少是右連續(xù)的(連續(xù)性)。是一個實函數(shù)!Distri
5、butionFunction若已知隨機變量的分布函數(shù),則對于任意有例2.17已知隨機變量的所有可能取值為,取各值的概率分別為,試求隨機變量的分布函數(shù)并作其圖像。解:由題設(shè)隨機變量的概率分布為由分布函數(shù)的定義有當時,;當時,;當時,;當時,。分布函數(shù)圖像如圖2.1所示0.30.30.4210圖2.1概率函數(shù)與概率密度函數(shù)一、隨機變量的概率函數(shù)1.離散型隨機變量Def如果隨機變量所有可能取值為有限或無窮可列,則該隨機變量稱為離散型隨機變量。設(shè)離散型隨機變量的所有可能取值是,而取值的概率為,即有則稱該式為隨機變量的概
6、率函數(shù)。其也可以用下列表達:并稱其為隨機變量的概率分布列,簡稱分布列。注意:離散型隨機變量的概率分布除用分布函數(shù)可以表示以外,還可以利用概率函數(shù)或分布列表示,概率函數(shù)與分布列是等效的,概率函數(shù)或分布列表示更直觀、簡便。2.概率函數(shù)或分布列的性質(zhì)(1);(2)(歸一性)。3.概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系已知概率函數(shù)求分布函數(shù)已知分布函數(shù)求概率函數(shù)例2.21設(shè)的分布列為試求。解:由隨機變量的分布列有例2.22設(shè)有一批產(chǎn)品20件,其中有3件次品,從中任意抽取2件,用表示抽取出2件產(chǎn)品中的次品數(shù),求隨機變量的分布律和“至少
7、抽得一件次品”的概率。解:的可能取值為。于是,由古典概率有所以,的分布列為例2.23一名士兵向一目標連續(xù)射擊,直至其擊中目標為止。假定該士兵命中率為,而且任意兩次射擊之間互不影響,用表示該名士兵射擊次數(shù)。求的概率分布。解:的可能取值為;設(shè)表示該名士兵第次擊中目標,。于是有相互獨立;。所以即的概率函數(shù)為注意:這種類型的隨機變量取值愈大,概率值愈小,是典型的不等概分布。當時,取1的概率最大。例2.24設(shè)隨機變量的概率函數(shù)為試求(1)常數(shù)的值;(2)概率最大的取值。解:(1)由概率函數(shù)的性質(zhì)有又有函數(shù)的冪級數(shù)展開知,
8、從而有解得(2)由(1)知隨機變量的分布列為顯然,隨機變量取1和2的概率最大。二、隨機變量的概率密度函數(shù)1.連續(xù)型隨機變量Def設(shè)為隨機變量,其分布函數(shù)記為,如果存在非負函數(shù),使得則稱為連續(xù)型隨機變量,非負函數(shù)為概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度函數(shù)。2.概率密度的性質(zhì)(1)對于任意有;(2);(3)對于任意有;(4)在函數(shù)連續(xù)點有。3.連續(xù)型隨機變量與離散型隨機變量區(qū)別定理:設(shè)為連續(xù)型