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《2011年華約自主招生數(shù)學(xué)試題及詳解.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、2011年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試（華約）數(shù)學(xué)部分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足
2、z
3、<1且則
4、z
5、＝()2．在正四棱錐P－ABCD中，M、N分別為PA、PB的中點(diǎn)，且側(cè)面與底面所成二面角的正切為.則異面直線DM與AN所成角的余弦為()3．已知，過點(diǎn)(－1,1)的直線l與該函數(shù)圖象相切，且(－1,1)不是切點(diǎn)，則直線l的斜率為()4．若的最小值和最大值分別
6、為()6．已知異面直線a，b成60°角.A為空間一點(diǎn)則過A與a，b都成45°角的平面()A.有且只有一個(gè)B.有且只有兩個(gè)C.有且只有三個(gè)D.有且只有四個(gè)7．已知向量則的最小值為()8．AB為過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，C為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則的正切值為()10．一個(gè)正11邊形用對(duì)角線劃分為9個(gè)三角形，對(duì)角線在正11邊形內(nèi)兩兩不相交，則（）A.存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角三角形B.存在某種分法，所分出的三角形恰有兩個(gè)銳角三角形C.存在某種分法，所分出的三角形至少有3個(gè)銳角三
7、角形D.任何一種分法所分出的三角形都恰有1個(gè)銳角三角形二、解答題12.已知圓柱形水杯質(zhì)量為a克，其重心在圓柱軸的中點(diǎn)處（杯底厚度及重量忽略不計(jì)，且水杯直立放置）.質(zhì)量為b克的水恰好裝滿水杯，裝滿水后的水杯的重心還有圓柱軸的中點(diǎn)處.（I）若b＝3a，求裝入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值；（II）水杯內(nèi)裝多少克水可以使裝入水后的水杯的重心最低？為什么？13.已知函數(shù).令.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II)證明.14.已知雙曲線分別為C的左右焦點(diǎn).P為C右支上一點(diǎn)，且使.(I)求C的離心率e；(I
8、I)設(shè)A為C的左頂點(diǎn)，Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點(diǎn)，問是否存在常數(shù)λ（λ>0）,使得恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.15.將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以pn表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.(I)求p1，p2，p3，p4；(II)探究數(shù)列{pn}的遞推公式，并給出證明；(III)討論數(shù)列{pn}的單調(diào)性及其極限，并闡述該極限的概率意義.2011年華約數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題DBCBBBBADD二、解答題11解：（I），整理得（II）由已知，與（I）比較知.又，，，而，，代入得，，，12解：不妨
9、設(shè)水杯高為1.（I）這時(shí)，水杯質(zhì)量：水的質(zhì)量＝2：3.水杯的重心位置（我們用位置指到水杯底面的距離）為，水的重心位置為，所以裝入半杯水的水杯的重心位置為(II)當(dāng)裝入水后的水杯的重心最低時(shí)，重心恰好位于水面上.設(shè)裝x克水.這時(shí)，水杯質(zhì)量：水的質(zhì)量＝a：x.水杯的重心位置為，水的重心位置為，水面位置為，于是，解得13解由(I)方法一：先求出，猜想.用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1顯然成立；假設(shè)n=k成立，即，則，得證.(II)方法一：證明.事實(shí)上，.我們注意到，（貝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：，）于
10、是14解：(I)如圖，利用雙曲線的定義，將原題轉(zhuǎn)化為：在ΔPF1F2中，，E為PF1上一點(diǎn)，F(xiàn)EPF12aP2cF22xPE＝PF2，EF1＝2a，F(xiàn)1F2＝2c，求.設(shè)PE＝PF2＝EF2＝x，F(xiàn)F2＝，，，.ΔEF1F2為等腰三角形，，于是，.(II)15分析與解：(I)顯然p1＝p2＝1，；又投擲四次連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，故.(II)共分三種情況：①如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率；②如果第n次出現(xiàn)正面，第n－1次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)
11、連續(xù)三次正面和前n－2次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；③如果第n次出現(xiàn)正面，第n－1次出現(xiàn)正面，第n－2次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n－3次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是.綜上，.（），④(III)由(II)知，（）⑤，④－×⑤，有（）所以時(shí)，pn的單調(diào)遞減，又易見p1＝p2＞p3＞p4＞….時(shí)，pn的單調(diào)遞減，且顯然有下界0，所以pn的極限存在.對(duì)兩邊同時(shí)取極限可得.其統(tǒng)計(jì)意義：當(dāng)投擲的次數(shù)足夠多時(shí)，不出現(xiàn)連續(xù)三次正
12、面向上的次數(shù)非常少，兩者比值趨近于零.
