自主招生華約數(shù)學(xué)試題及答案11

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1、高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測(cè)試（華約）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足且，則（A）（B）（C）（D）【答案】D2．在正四棱錐P-ABCD中，M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，且側(cè)面與地面所成二面角的正切值為。則一面直線DM與AN所成交角的余弦值為（A）（B）（C）（D）【答案】B3．過點(diǎn)的直線與曲線相切，且不是切點(diǎn)，則直線的斜率是（A）2（B）1（C

2、）（D）【答案】C4．若，則的最小值和最大值分別為（A）（B）（C）（D）【答案】BBAO1OO2C5．如圖，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)C，⊙O1，⊙O2又都和⊙O內(nèi)切，切點(diǎn)分別為A，B。，則（A）（B）（C）（D）【答案】B或C？6．已知異面直線所成60°角，A為空間中一點(diǎn)，則過A與都成45°角的平面（A）有且只有一個(gè)（B）有且只有兩個(gè)（C）有且只有三個(gè)（D）有且只有四個(gè)【答案】B7．已知向量，，，。則的最小值為（A）1（B）（C）（D）2【答案】B8．AB過拋物線焦點(diǎn)F的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，C為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則的正切值為（A）（B）（C）（D）【答案】ABACDE

3、F9．如圖，已知△ABC的面積為2，D，E分別為邊AB，邊AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，設(shè)，且，則△BDF面積的最大值為（A）（B）（C）（D）【答案】D10．將一個(gè)正11邊形用對(duì)角線劃分為9個(gè)三角形，這些對(duì)角線在正11邊形內(nèi)兩兩不相交，則（A）存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角三角形（B）存在某種分法，所分出的三角形恰有2個(gè)是銳角三角形（C）存在某種分法，所分出的三角形至少有3個(gè)銳角三角形（D）任何一種分法所分出的三角形都恰有1個(gè)銳角三角形【答案】二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11．（本小題滿分14分）已知△ABC不是直角三角形。（I）證明：；（

4、II）若，且的倒數(shù)成等差數(shù)列，求的值。12．（本小題滿分14分）已知圓柱形水杯質(zhì)量為a克，其重心在圓柱軸的中點(diǎn)處（杯底厚度及重量忽略不計(jì)，且水杯直立放置）。質(zhì)量為b克的水恰好裝滿水杯，裝滿水后的水杯的重心還在圓柱軸的中點(diǎn)處。（Ⅰ）若，求裝入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值；（Ⅱ）水杯內(nèi)裝多少克水可以使裝入水后的水杯的重心最低？為什么？13．（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，，令，。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：。14．（本小題滿分14分）已知雙曲線（），，分別為C的左、右焦點(diǎn)，P為C右支上一點(diǎn)，且使，又△F1PF2的面積為。（Ⅰ）求C的離心率e；（Ⅱ）設(shè)

5、A為C的左頂點(diǎn)，Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點(diǎn)，問是否存在常數(shù)，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。15．（本小題滿分14分）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率。（Ⅰ）求和；（Ⅱ）探究數(shù)列的遞推公式，并給出證明；（Ⅲ）討論數(shù)列的單調(diào)性及其極限，并闡述該極限的概率意義。解答：（1），，，，，，，。。。（Ⅱ）①如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價(jià)的，所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是；②如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價(jià)的，所以這個(gè)時(shí)候不

6、出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是；③如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價(jià)的，所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是。④如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，那么已經(jīng)出現(xiàn)連續(xù)3次正面，所以不需要考慮。綜上，有（）。其中，，。我們先定義幾個(gè)函數(shù)：f(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至少有連續(xù)3次相同，總共有f(n)種情況。g(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至多連續(xù)2次相同（可以有不同的連續(xù)2次相同），且最后2次連續(xù)相同，總共有g(shù)(n)種情況。h(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至多連續(xù)2次相同（

7、可以有不同的連續(xù)2次相同），且最后2次不相同，總共有h(n)種情況。顯然，下面的等式成立：f(n)+g(n)+h(n)=2^nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化簡得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)這個(gè)著名數(shù)列就不再啰嗦了最后由g(n)求得f(n)當(dāng)然，最后的結(jié)果是f(n)/2,因?yàn)檫B續(xù)正與連續(xù)負(fù)的情況是相等的