2012年華約自主自主招生數(shù)學試題及詳解

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1、2012年高水平大學自主選拔學業(yè)能力測試（華約）數(shù)學部分注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）在銳角中，已知,則的取值范圍為（）(A)(B)(C)(D)（2）紅藍兩色車、馬、炮棋子各一枚，將這6枚棋子排成一列，其中每對同字的棋子中，均為紅棋子在前，藍棋子在后，滿足這種條件的不同的排列方式共有（）(A)36種(B)60種(C)90種(D)120種（3）正四棱錐中，側(cè)棱與底面所成角為，側(cè)

2、面與底面所成二面角為，側(cè)棱與底面正方形的對角線所成角為，相鄰兩側(cè)面所成二面角為，則之間的大小關系是（）(A)(B)(C)(D)（4）向量，。若，則（）(A)(B)(C)(D)（5）若復數(shù)的實部為0，是復平面上對應的點，則點的軌跡是()(A)一條直線(B)一條線段(C)一個圓(D)一段圓?。?）橢圓長軸長為4，左頂點在圓上，左準線為軸，則此橢圓離心率的取值范圍是（）(A)(B)(C)(D)（7）已知三棱錐的底面為正三角形，點在側(cè)面上的射影是的垂心，二面角為30°，且，則此三棱錐的體積為（）(A)(B)(C)(D)6（8）如圖，在銳角中，邊上的高與邊上的高交于點。以為直徑作圓與的另一個交點為。已知

3、，，，則的長為（）(A)(B)(C)10(D)（9）已知數(shù)列的通項公式為，。是數(shù)列的前項和。則（）(A)0(B)(C)(D)（10）已知，當取得最大值時，在這十個數(shù)中等于的數(shù)共有（）(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個二、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（11）(本小題滿分14分)在中，的對邊分別為。已知①求的大?、谌?，求的值（12）(本小題滿分14分)已知兩點，動點在軸上的射影是，且①求動點的軌跡的方程②已知過點的直線交曲線于軸下方不同的兩點，設的中點為，過于點作直線，求直線斜率的取值范圍。（13）(本小題滿分14分)系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件正常工作的事

4、件相互獨立，如果系統(tǒng)中有多于一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作。系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性。（1）某系統(tǒng)配置有個元件，為正整數(shù)，求該系統(tǒng)正常工作概率的表達式（2）現(xiàn)為改善（1）中系統(tǒng)的性能，擬增加兩個元件。試討論增加兩個元件后，能否提高系統(tǒng)的可靠性。(14)(本小題滿分14分)記函數(shù)證明：當是偶數(shù)時，方程6沒有實根；當是奇數(shù)時，方程有唯一的實根，且。(15)(本小題滿分14分)某乒乓球培訓班共有位學員，在班內(nèi)雙打訓練賽期間，每兩名學員都作為搭檔恰好參加過一場雙打比賽。試確定的所有可能值并分別給出對應的一種安排比賽的方案。62012年華約數(shù)學參考答案一、選擇題ACBCAB略DDC二、解

5、答題11解：（1）C=2/3∏；（2）=3/412解：（1）設P(x,y),則H(0，y),由（2）令CD:代入，整理得因為直線在x軸下方交P點軌跡于C()，D()兩點所以上式有兩個負根，由根據(jù)韋達定理，得CD中點M的坐標為代入直線MQ的方程y+2=kx,(k為其斜率)得所以，k=,(1.13解答：顯然,注意到，所以=6======因此，當p≥時，{}遞增，當P≥時，{}遞減。14證明：用數(shù)學歸納法證明有唯一解且嚴格單調(diào)遞增，無實數(shù)解，顯然n=1時，此時有唯一解，且嚴格單調(diào)遞增，而無實數(shù)解，現(xiàn)在假設有唯一解且嚴格單調(diào)遞增，無實數(shù)解，于是注意到時，對任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0,于是，所以

6、又因為所以由嚴格遞增知有唯一根0，對于有，所以（—∞，）上，遞減，在（，+∞）上，遞增，所以6因此，無實數(shù)解綜上所述，對任意正整數(shù)n,當ｎ為偶數(shù)時無解，當ｎ為奇數(shù)有唯一解。再證，事實上，由的嚴格單調(diào)性，只需驗證，注意到－＝，由上述歸納法證明過程中，，所以，因此，綜上所述，原命題得證。15假設比賽了K場，那么由題目假設，一場比賽出現(xiàn)了2對隊友，所以=2k，也就是說4k=n(n-1)，那么得到n=4l或者4l+1,期中l(wèi)N，下邊證明，對于任意的n=4l，或者4l+1,其中l(wèi)N,都可以構造出滿足要求的比賽：n=4l+1,的時候，對于L使用數(shù)學歸納法：（1）當L=1的時候，N=5，此時假設這5名選手為

7、A,B,C,D,E,那么如下安排比賽即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2）設當L=M時結(jié)論成立，則L=M+1時，設4M+5選手為A,B,C,D,E，由歸納假設，可以安排E,之間的比賽，使得他們之間每兩位選手的作為隊友恰好只參加過一次比賽，還剩下A,B,C,D，E,相互的比賽和A,B,C,D與之間的比賽，A,B,C，D與之間的比賽安排如下：A與B,A與B,C與D,C