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《高中數(shù)學(xué)必修五全套教案.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、[探索研究]在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定abc義，有?sinA，?sinB，又sinC?1?,cccabc則???cbcsinAsinBsinCabc從而在直角三角形ABC中，??CaBsinAsinBsinC(圖1．1-2)思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的ab定義，有CD=as
2、inB?bsinA,則?，CsinAsinBcb同理可得?，basinCsinBabc從而??AcBsinAsinBsinC(圖1．1-3)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即abc??sinAsinBsinC[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；abcabcbac（2）??等價(jià)于?，?，?sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinBsinAsinC從而知正弦定理的基本作用為：bsinA①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?；si
3、nBa②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。[例題分析]例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20；根據(jù)正弦定理，1/61asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；sinAsin32.00根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sinAsin32.00評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用
4、計(jì)算器。例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400sinB???0.8999.a20因?yàn)?0＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴當(dāng)B?640時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sinAsin400⑵當(dāng)B?1160時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sinAsin400[補(bǔ)充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:
5、sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。Auurruurruurrrrrrr如圖1．1-5，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bcrrr?rr??rr?c2?c?c?a?ba?brrrrrrr?a?a?b?b?2a?bCaBrrrr22?a?b?2a?b從而c2?a2?b2?2abcosC
6、(圖1．1-5)同理可證a2?b2?c2?2bccosAb2?a2?c2?2accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA2/61b2?a2?c2?2accosBc2?a2?b2?2abcosC思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：b2?c2?a2cosA?2bca2?c2?b2cosB?2acb2?a2?c2cosC?2ba[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：①已知三
7、角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。[例題分析]例1．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A⑴解：∵b2
