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1、高數導數概念一、引例1.變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動2.曲線的切線斜率曲線在M點處的切線割線MN的極限位置MT(當時)割線MN的斜率切線MT的斜率兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題二、導數的定義定義1.設函數在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數
2、.運動質點的位置函數在時刻的瞬時速度曲線在M點處的切線斜率不存在,就說函數在點不可導.若也稱在若函數在開區(qū)間I內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作:注意:就稱函數在I內可導.的導數為無窮大.若極限例1.求函數(C為常數)的導數.解:即例2.求函數解:說明：對一般冪函數(為常數)例如，（以后將證明）例3.求函數的導數.解:則即類似可證得例4.求函數的導數.解:即原式是否可按下述方法作:例5.證明函數在x=0不可導.證:不存在,例6.設存在,求極限解:原式三、導數的幾何意義曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為
3、駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:例7.問曲線哪一點有鉛直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有鉛直切線四、函數的可導性與連續(xù)性的關系定理1.證:設在點x處可導,存在,因此必有其中故所以函數在點x連續(xù).注意:函數在點x連續(xù)，但在該點未必可導.反例:在x=0處連續(xù),但不可導.即在點的某個右鄰域內五、單側導數若極限則稱此極限值為在處的右導數,記作即(左)(左)例如,在x=0處有定義2.設函數有定義,存在,定理2.函數在點且存在簡寫為在
4、點處右導數存在定理3.函數在點必右連續(xù).(左)(左)若函數與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導在開區(qū)間內可導,在閉區(qū)間上可導.可導的充分必要條件是且內容小結1.導數的實質:3.導數的幾何意義:4.可導必連續(xù),但連續(xù)不一定可導;5.已學求導公式:6.判斷可導性不連續(xù),一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習1.函數在某點處的導數區(qū)別:是函數,是數值;聯系:注意:有什么區(qū)別與聯系?？與導函數2.設存在,則3.已知則4.若時,恒有問是否在可導?解:由題設由夾逼準則故在可導,且5.設,問a取何值時,在
5、都存在,并求出解:顯然該函數在x=0連續(xù).故時此時在都存在,作業(yè)P862,5,6,7,11,16(2),18,20牛頓(1642–1727)偉大的英國數學家,物理學家,天文學家和自然科學家.他在數學上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(微分)術,次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成《流數術與無窮級數》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學的數學原理》和《廣義算術》等.萊布尼茨(1646–1716)德國數學家,哲學家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠
6、優(yōu)于牛頓.他還設計了作乘法的計算機,系統(tǒng)地闡述二進制計數法,并把它與中國的八卦聯系起來.備用題解:因為1.設存在,且求所以在處連續(xù),且存在，證明:在處可導.證：因為存在，則有又在處連續(xù),所以即在處可導.2.設故此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！ 感謝您的支持，我們努力做得更好！謝謝
