第三章 數(shù)值計(jì)算方法

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《計(jì)算機(jī)在冶金中的應(yīng)用》計(jì)算機(jī)在稀土工程中的應(yīng)用 第三章數(shù)值計(jì)算方法 第3章數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算方法（也稱(chēng)數(shù)值分析、數(shù)值求解）：研究求解數(shù)學(xué)模型的算法及相關(guān)理論，它是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。在工程實(shí)際和科學(xué)研究中，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)模型很難求得其解析解，或根本就沒(méi)有解析解，只能用計(jì)算機(jī)求出其數(shù)值解。從應(yīng)用角度來(lái)看，這也就足夠了。在數(shù)值求解中，常使用如下技術(shù):1.迭代求解技術(shù)2.連續(xù)問(wèn)題離散化技術(shù)3.離散數(shù)據(jù)連續(xù)化技術(shù)評(píng)價(jià)算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)：1.速度:速度涉及計(jì)算量、算法收斂速度等2.精度:涉及計(jì)算誤差 3-1誤差與有效數(shù)字?jǐn)?shù)值分析，常常給人一種不嚴(yán)格、不準(zhǔn)確的感覺(jué)。實(shí)際上，誤差是不可避免的，近似是正常的，根本不存在絕對(duì)的嚴(yán)格和準(zhǔn)確。問(wèn)題是我們?nèi)绾畏治稣`差，控制誤差，保證計(jì)算結(jié)果誤差在允許范圍內(nèi)。 1.誤差的來(lái)源在用數(shù)模處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，誤差來(lái)源主要有以下四個(gè)方面：模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差(1)模型誤差：模型的建立往往要忽略一些次要因素，所以模型的解與實(shí)際結(jié)果必然存在一定的誤差，這類(lèi)誤差稱(chēng)為模型誤差；(2)觀測(cè)誤差：數(shù)學(xué)模型常常要用到一些參量數(shù)據(jù)，如溫度、初始濃度等，這些數(shù)據(jù)又往往是由觀測(cè)獲得，由觀測(cè)數(shù)據(jù)帶來(lái)的誤差稱(chēng)為觀測(cè)誤差；(3)截?cái)嗾`差：許多函數(shù)常用無(wú)限級(jí)數(shù)表示，而用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只能取前有限項(xiàng)，由此引起的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差；比如函數(shù):(4)舍入誤差：由于計(jì)算機(jī)表示的實(shí)數(shù)有效位數(shù)有限，超出部分只能按四舍五入法處理，這部分誤差稱(chēng)為舍入誤差。盡管一次舍入誤差極小，但當(dāng)運(yùn)算次數(shù)極多時(shí)，誤差的積累也可能不可忽視。 2.絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差設(shè)x*為某數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確值，x為近似值絕對(duì)誤差：若稱(chēng)為絕對(duì)誤差限(2)相對(duì)誤差：當(dāng)準(zhǔn)確值未知時(shí)，可用近似值代替：稱(chēng)為相對(duì)誤差限 3.有效數(shù)字設(shè)近似值x的絕對(duì)誤差限不大于某一位上的半個(gè)單位，且從該位到的第一非零數(shù)字位共有n位，則近似值x有n位有效數(shù)字。設(shè)數(shù)據(jù)近似值為：0.0276521035712652若絕對(duì)誤差限為：0.00006，則有效數(shù)字有3位，即0.0276;若絕對(duì)誤差限為：0.00004，則有效數(shù)字有4位，即0.02765;0.00006<0.0005=0.5×10-30.00004<0.00005=0.5×10-4相對(duì)誤差與有效數(shù)字位數(shù)，在最保守的情況下有如下關(guān)系：|相對(duì)誤差| 3-2數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)數(shù)值計(jì)算中誤差的產(chǎn)生與傳播的情況非常復(fù)雜，對(duì)誤差估計(jì)也比較困難，本節(jié)主要介紹采用函數(shù)的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)估計(jì)誤差，這是一種常用方法。 1.函數(shù)運(yùn)算的誤差傳播估計(jì)同理，對(duì)多元函數(shù) 2.算術(shù)運(yùn)算的誤差傳播估計(jì)設(shè)兩個(gè)近似數(shù)x1,x2的誤差限分別為，則其兩個(gè)數(shù)的四則運(yùn)算誤差，可用前述多元函數(shù)運(yùn)算誤差估計(jì)公式計(jì)算： 3-3數(shù)值計(jì)算中的一些基本原值在數(shù)值計(jì)算中，為使誤差在傳播過(guò)程中不增大，應(yīng)遵循一些基本原則:1.避免絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)2.避免兩個(gè)相近的數(shù)據(jù)相減3.防止大數(shù)“吃”小數(shù)4.盡量減少計(jì)算工作量5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法 1.避免絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)由除法的誤差估計(jì)公式可知，除數(shù)的絕對(duì)值越小，商的絕對(duì)誤差越大。所以要盡量避免采用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)。 2.避免兩個(gè)相近的數(shù)據(jù)相減當(dāng)兩個(gè)相近的數(shù)據(jù)相減時(shí)，差的有效數(shù)字位數(shù)大大減少，相對(duì)誤差大大增加。相對(duì)誤差為了避免兩個(gè)相近的數(shù)據(jù)直接相減，常用恒等式將其變形后計(jì)算，如：絕對(duì)誤差 3.防止大數(shù)“吃”小數(shù)一個(gè)絕對(duì)值很大的數(shù)與一個(gè)絕對(duì)值很小的數(shù)相加時(shí)，很容易發(fā)生大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象。這是因?yàn)橛?jì)算機(jī)表示的實(shí)數(shù)有效數(shù)字位數(shù)有限所至。當(dāng)絕對(duì)值很小的數(shù)個(gè)數(shù)極多時(shí)，對(duì)計(jì)算結(jié)果的影不可忽視。在處理這類(lèi)累加問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按絕對(duì)值從小到大的順序進(jìn)行累加。 4.盡量減少計(jì)算工作量在考慮算法時(shí)應(yīng)注意盡量減小運(yùn)算次數(shù)，計(jì)算機(jī)完成算法運(yùn)算所花費(fèi)的時(shí)間與算術(shù)運(yùn)算量有關(guān)，主要取決于乘法、除法的運(yùn)算次數(shù)，減少乘法、除法的運(yùn)算次數(shù)，不僅縮短了解題時(shí)間，而且誤差的積累相應(yīng)也要小一些。比如，多項(xiàng)式求和可用兩種算法處理：(1)直接累加(2)秦九韶算法共進(jìn)行n次乘法運(yùn)算共進(jìn)行n(n+1)/2次乘法運(yùn)算 5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法對(duì)同一問(wèn)題，采用不同數(shù)值求解算法，對(duì)計(jì)算結(jié)果的誤差影響也不一樣。舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大的算法稱(chēng)為數(shù)值穩(wěn)定算法。實(shí)際上，分析一個(gè)算法在計(jì)算過(guò)程中是否穩(wěn)定，就是考察其誤差是否增大。例：計(jì)算定積分經(jīng)推導(dǎo)，有下式成立： 算法1:正向遞推由此可見(jiàn)，該遞推算法隨n的增大，誤差傳播迅速增大，是不穩(wěn)定算法。由正向遞推計(jì)算I20得 算法2:逆向遞推由：有：按In估計(jì)式：?。喊吹媚嫦蜻f推 3-4非線性方程求解非線性方程求解是科學(xué)與工程中的常見(jiàn)問(wèn)題。通常將非線性方程表示為如下形式：若函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，即：則稱(chēng)為代數(shù)方程，否則稱(chēng)為超越方程。對(duì)于高于4次的代數(shù)方程，不存在通用求解公式，而對(duì)超越方程，一般很難有解析解。所以數(shù)值求解就是一種非常實(shí)用和有效的方法。 用計(jì)算機(jī)求解非線性方程的步驟若方程有多個(gè)解，可先對(duì)方程按步長(zhǎng)法進(jìn)行根隔離，找出隔根區(qū)(區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)解);(2)利用迭代法求解。在該區(qū)間內(nèi)確定一合適的初值x0，按某種算法產(chǎn)生一個(gè)近似解序列，該序列收斂于精確解x* 2.二分法a1b1x1a0b0x0設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，采用二分法求解可按下列步驟進(jìn)行：(1)取近似解x為區(qū)間中點(diǎn)值，計(jì)算f(x);(2)若,則解在區(qū)間,調(diào)整(3)若,則解在區(qū)間,調(diào)整反復(fù)循環(huán)執(zhí)行，直至或 二分法收斂速度與誤差因每次二分后，取有根區(qū)間的中間值為近似解：與準(zhǔn)確解的誤差為： 例：銅閃速熔煉反應(yīng)塔產(chǎn)物溫度計(jì)算熱收入項(xiàng)熱支出項(xiàng)熱支出項(xiàng)計(jì)算公式入爐物料顯熱銅锍顯熱化學(xué)反應(yīng)熱爐渣顯熱重油燃燒熱煙氣顯熱塔散熱經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)求解方程：熱收入+熱支出=0，即可求得溫度T。現(xiàn)已知某生產(chǎn)時(shí)期熱平衡方程如下，求溫度T： 3.簡(jiǎn)單迭代法將方程改寫(xiě)為由此得反復(fù)迭代，直至相鄰兩次解的相對(duì)誤差小于給定精度即可。如前面的例子可改寫(xiě)為：(也稱(chēng)不動(dòng)點(diǎn)迭代法) 簡(jiǎn)單迭代的誤差與收斂?jī)墒较鄿p，并由中值定理有：若：為小于1的正數(shù)則：即：所以，只要其導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值小于1，可保證收斂。 簡(jiǎn)單迭代的加速當(dāng)導(dǎo)數(shù)g’(x)變化不大時(shí)，近似有：為加快收斂速度，可預(yù)先對(duì)近似解進(jìn)行補(bǔ)嘗：移項(xiàng)后，兩邊再減 4.牛頓迭代法牛頓迭代法其實(shí)質(zhì)是將非線性函數(shù)近似為線性函數(shù)來(lái)處理，即在近似解xn處，按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，忽略高階項(xiàng)，得線性方程：由此得牛頓迭代公式： 3-5線性方程組數(shù)值求解消元法迭代法雅可比法高斯-塞德?tīng)柗ㄋ沙诜s當(dāng)法高斯法追趕法 1.雅可比法（以三元線性方程組為例）直至相鄰兩次解誤差小于給定精度 2.塞德?tīng)柗ㄓ捎谌聽(tīng)柗偸鞘褂米钚碌牡膺M(jìn)行運(yùn)算，所以其收斂速度高于雅可比法。 3.松馳法無(wú)論是雅可比法，或是塞德?tīng)柗?，都可使用松馳法進(jìn)一步加速：通常取，此時(shí)稱(chēng)為超松馳迭代，具體值取多大，通常由試算確定。 4.迭代法求解舉例 5.消元法常用的消元法主要有以下三類(lèi)：約當(dāng)法消元法高斯消元法（約當(dāng)法的改進(jìn)算法）追趕法（針對(duì)三對(duì)角型方程組）實(shí)用中使用最多的是高斯消元法。 6.約當(dāng)消元法約當(dāng)消元法的步驟：將第一個(gè)方程x1的系數(shù)化為1,并從其余方程中消除x1;(2)將第二個(gè)方程x2的系數(shù)化為1,并從其余方程中消除x2;……依此類(lèi)推，直至每一個(gè)方程僅含一個(gè)變?cè)獮橹埂？梢宰C明，對(duì)于n元線性方程組的求解，所用乘法次數(shù)為： 約當(dāng)消元法實(shí)例 5.高斯消元法高斯(Gauss)消元法是約當(dāng)法的改進(jìn)，目的是為了減少計(jì)算量。高斯法對(duì)子方程組不斷消元降階，直到最后一個(gè)方程僅含一個(gè)變?cè)?，形成三角方程組，最后通過(guò)回代求出其它變?cè)慕狻?6.高斯消元過(guò)程舉例 回代求解逐步消元7.求解步驟