水木艾迪考研數(shù)學講義09

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1、第9講二重積分，三重積分(一)考綱要求:ò考試內容1．二重積分的概念及性質二重積分的計算和應用2．三重積分的概念及性質三重積分的計算和應用ò考試要求1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理。2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）。3．理解三重積分的概念，了解重積分的性質。4．會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。(二)內容提要:二重積分部分1概念：ò定義與符號：積分和式的極限,n2設f:D?R→R,I=lim∑f(Pi)Δσi=∫∫f(x,y)dσλ→0i=1Dò性質：被積函數(shù)有界性；可積性；對區(qū)域的可加性；運算的單調性；估值

2、與中值定理等。(1)計算：ò在直角坐標系下的計算by2()xdx2(y)∫∫f()x,ydσ=∫dx∫f()x,ydy=∫dy∫f()x,ydxDay1()xcx1()yddσ=xdyò坐標平移?uxa=??，dσ==dxdydudv?vyb=?∫∫f()x,ydσ==+∫∫f()uavbdudv,+DuvD譚澤光1ò在極坐標系下的計算βρ2()?∫∫f()x,ydσ=∫d?∫f()ρcos?,ρsin?ρdρDαρ1()?ddσ=ρ?ρd(2)方法、技巧：ò化簡：利用域和函數(shù)的對稱性或幾何、對區(qū)域可加性化簡ò坐標系的選擇；ò積分次序的確定；(三)典型例題:二重積分典型例題22

3、例1（117）設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，f(?x,y)=f(x,y),D:x+y≤1，則下列結論正確的是______.(A)∫∫fxyd(,)σ=0；(B)∫∫f(,)xydσ=2∫∫fxyd(,)σ；DDxy22+≤1y≥0(C)∫∫f(,)xydσ=2∫∫fxyd(,)σ；Dxy22+≤1x≥0(D)∫∫f(,)xydσ=4∫∫fxyd(,)σ.Dxy22+≤1xy≥≥0,0【解】答案為(C).依題意，f(x,y)關于x為偶函數(shù)，區(qū)域D關于y軸對稱，由二重積分對稱性可知選項(C)正確，下面舉例說明其選項不對.(A)取f(x,y)=1，則∫∫fxyd(,)σπ=≠0.D(B)

4、取f(x,y)=y，則∫∫fxyd(,)σ=0(因為D關于x軸對稱，Df(x,y)=y關于y為奇函數(shù)，而211?x1422(∫∫fxyd,)2σ=∫??10dx∫ydy=?=∫1(1xdx).223xy+≤1xy≥≥0,0譚澤光2(D)取f(x,y)=y，則∫∫fxyd(,)σσ=∫∫yd=0，DD211?x1424(∫∫fxyd,)4σσ=∫∫yd==4∫00dx∫ydy2∫0(1?xdx)=22223xy+≤11xy+≤xy≥≥0,0xy≥≥0,0【注】本題考察二重積分的對稱性，結論如下：(1)設區(qū)域D關于x軸對稱，D中位于x軸上、下方的部分分別記為DD,，則當f(x,y)

5、關于y為奇函數(shù)時fxyd(,)σ=0；12∫∫D當f(x,y)關于y為偶函數(shù)時∫∫f(,)xydfσ==2∫∫(,)xydfσσ2∫∫(,).xydDDD12(2)設區(qū)域D關于y軸對稱，D中位于y軸左、右方的部份分別記為DD,，則當f(x,y)關于x為奇函數(shù)時fxyd(,)σ=0；lr∫∫D當f(x,y)關于x為偶函數(shù)時∫∫f(,)xydfσ==2∫∫(,)xydfσσ2∫∫(,)xyd.DDDrl2223例2設積分區(qū)域D:x+y≤r,則∫∫(x+siny+1)dxdy=()D2答案:πr積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性）。3例3,f(t)為連續(xù)函數(shù),D是由y=x,y=1,x

6、=?122圍成的區(qū)域,則∫∫xy?f(x+y)dxdy=0.D10.750.50.25-1-0.50.51-0.25-0.5-0.75-1答案:0例4設D是平面上以(1,1),(?1,1),(?1,?1)三點為頂點的三角形區(qū)域.D為其在第一象限的部分,則(xy+cosxsiny)dxdy=().1∫∫D(A)2∫∫cosxsinydxdy;(B)2∫∫xydxdy;D1D1譚澤光3(C)4∫∫(xy+cosxsiny)dxdy;(D)0D1D2D1′D10xD′2答案(A).23例5（118）若I=+()xydσ，I=+()xydσ，1∫∫2∫∫DD22Dxyxy:0+??≤，

7、則下列結論中正確的是______.(A)II；(D)無法比較I,I的大小.12121212y1xy+=1/2x+y=101x11221【解】直線x+=y1將圓域()()xy?+?≤分成:222Dx1=+{(,):yxyD≤1}∪,D2=+{(,):xyxy≥1}∪D兩部分.32考察I?=Ix()()()+?+yxydσ,記uxy=+,則21∫∫D222I?=Iuu(1?)dσ=?+?uu(1)duuσ(1)dσ.21∫∫∫∫∫∫DDD1222???22?4uu(