四川省敘永第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理科） Word版含解析.docx

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高2021級(jí)高三上期入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合然后用交集的定義即可求解【詳解】因?yàn)?，所以故選：C2.命題“且的否定形式是（）A.且B.或C.且D.或【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“且的否定形式是或故選D.考點(diǎn)：命題的否定3.下列函數(shù)中，在上是增函數(shù)的是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)AB：直接判斷其單調(diào)性；對(duì)C：把化為，判斷其單調(diào)性；對(duì)D：利用判斷的單調(diào)性.【詳解】本題考查函數(shù)的單調(diào)性.A項(xiàng)中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)中，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)中，函數(shù)，在和上分別單調(diào)遞增，故C正確；D項(xiàng)中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：四個(gè)選項(xiàng)互不相關(guān)的選擇題，需要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.4.已知命題：空間中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；命題：空間中三個(gè)平面，，，若，，，則．則下列命題為真命題的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系定義、面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合與、或、非的真假性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榭臻g中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，兩條直線可以是異面直線，所以命題是假命題，因此是真命題，由面面垂直的性質(zhì)可知命題是真命題，為假命題，所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，故選：D5.二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的，即441個(gè)點(diǎn)，根據(jù)0和1 的二進(jìn)制編碼，一共有種不同的碼，假設(shè)我們1秒鐘用掉1萬(wàn)個(gè)二維碼，1萬(wàn)年約為秒，那么大約可以用（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.萬(wàn)年B.117萬(wàn)年C.萬(wàn)年D.205萬(wàn)年【答案】A【解析】【分析】由題意估算出可用的年限，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式求解即可.【詳解】由題意大約能用萬(wàn)年，則，所以，故選：A．6.已知且，“函數(shù)為增函數(shù)”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】函數(shù)為增函數(shù),則,此時(shí),故函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí),,,所以,故為增函數(shù).故選:C7.已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對(duì)于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.故選：D.8.如圖是某三棱錐的三視圖，已知網(wǎng)格紙的小正方形邊長(zhǎng)是1，則這個(gè)三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）A.5B.C.D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，求出棱長(zhǎng)，即可判斷.【詳解】由三視圖可得幾何體的直觀圖如下所示： 其中，，，且平面，，所以，，，所以三棱錐中最長(zhǎng)棱為.故選：C9.若函數(shù)是奇函數(shù)，則使f（x）＞3成立的x的取值范圍為（　　）A.（﹣∞，﹣1）B.（﹣1，0）C.（0，1）D.（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】由f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求a，代入即可求解不等式.【詳解】解：∵是奇函數(shù)，，即，整理可得，，，，，，整理可得， ，解可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求參數(shù)，考查指數(shù)相關(guān)的不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.10.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.，C.，，D.，0，【答案】B【解析】【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為，然后分析函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定的值域.【詳解】，，，，，或0，的值域?yàn)椋?故選：B.11.已知，若關(guān)于的方程恰好有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由方程可解得或，從而可得方程有3個(gè)不是的根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案． 【詳解】解方程得或；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，且時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，且；若，可知，從而，解得，故方程有3個(gè)不是的根.作出的大致圖象，若使方程有3個(gè)不是的根，即的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不為，由圖可知，即，故選：C．12.設(shè)，，，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】觀察4個(gè)數(shù)易得均與0.1有關(guān)，故考慮，，，在時(shí)的大小關(guān)系，故利用作差法，分別構(gòu)造相減的函數(shù)判斷單調(diào)性以及與0的大小關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，，，，易得. 設(shè)，則令有，故在上單調(diào)遞增.①因?yàn)?，即，故，即，故，?②設(shè)，則，設(shè)，則.設(shè)，則，故為增函數(shù)，故，即.故，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故，故當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故，故.③設(shè)，，易得當(dāng)時(shí)，故，即.綜上故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性分析函數(shù)大小的問(wèn)題，需要根據(jù)題中所給的信息判斷出需要構(gòu)造的函數(shù)，再求導(dǎo)適當(dāng)放縮分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)值的大小即可.屬于難題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題紙上）13.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念以及冪函數(shù)在上的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得或， 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，符合題意.故答案為：.14.已知圓錐的高為2，體積為，若該圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】首先由已知求得圓錐底面半徑，再設(shè)球的半徑為R，根據(jù)圓錐的幾何特征及球的性質(zhì)列出關(guān)于R的方程，解出R，則球的體積可求．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，因?yàn)閳A錐的高為2，體積為，所以，即，解得，當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心O的兩側(cè)時(shí)，如圖，圓錐的底面半徑，高，設(shè)球O的半徑為R，則，解得，與不符，故此種情況舍去，當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球O的同側(cè)時(shí)，如圖，圓錐底面半徑，高，設(shè)球O的半徑為R，則，解得，符合題意． 綜上，此球的半徑為4，球的體積為．故答案為：．15.已知函數(shù)，若，則的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，等價(jià)于，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值，即可求出的值.【詳解】等價(jià)于，令，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減．所以.故轉(zhuǎn)化為，即恒成立.令，，則，則，因?yàn)楹愠闪?，所?故的取值范圍為．故答案為：.16.已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是______．（只填序號(hào)）①為偶函數(shù)；②為奇函數(shù)；③；④.【答案】①④ 【解析】【分析】結(jié)合已知條件和是奇函數(shù)求出函數(shù)的周期，然后利用周期和已知條件得出為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的性質(zhì)分析可得，再根據(jù)的周期性即可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)的周期即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，則有，且是奇函數(shù)，則，可得，即，則，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?，則，可得，故也是周期為4的周期函數(shù)．對(duì)于①：因?yàn)?，則，即，所以，所以為偶函數(shù)．故①正確；對(duì)于②：∵，∴，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)?，令，即，則，又因?yàn)?，令，所以，令，則，即，即，所以，所以③錯(cuò)誤； 對(duì)于④：因?yàn)?，所以，所以，所以④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，求外接圓的半徑.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，然后利用正弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由余弦定理?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以?設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理得，解得，即外接圓的半徑為5.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）現(xiàn)將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)的解析式，從而求得的最小正周期.（2）利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，所以的最小正周期.【小問(wèn)2詳解】由題意可得:當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，， 若存在，使得成立，只需，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，計(jì)算得到切線斜率，點(diǎn)斜式求切線方程.(2)求出函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)解得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】，則，得．由題意，可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】由已知得．又由（1）知，所以．故．，由，得，或；由，得．故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為．20.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形. （1）設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；（2）設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過(guò)平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線夾角即可【小問(wèn)1詳解】上下兩個(gè)扇形的面積之和為：兩個(gè)矩形面積之和為：4側(cè)面圓弧段的面積為：故這個(gè)幾何體的表面積為：【小問(wèn)2詳解】如下圖，將直線平移到下底面上為由，且，，可得：面 則而G是弧DF的中點(diǎn)，則由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則則直線與直線的夾角為21.已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解極值即可；（2）先對(duì)原方程進(jìn)行同構(gòu)變形，將換元后的方程通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷其有唯一零點(diǎn)，從而將原方程簡(jiǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，方程化簡(jiǎn)后兩邊取對(duì)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.的極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】，，由方程，得，令，則. 令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，方程有唯一解.方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.等價(jià)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.構(gòu)造函數(shù)，則.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，；，.只需要，即.構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，當(dāng)時(shí)，恒成立.的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理．可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22.在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線（為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，若將點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)保持不變，得到點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，是上異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)消參求得曲線的普通方程，通過(guò)圖象變換求得的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）設(shè)出的極坐標(biāo)，然后求得的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換以及三角函數(shù)最值的知識(shí)求得的最大值.【小問(wèn)1詳解】為曲線（為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，化為普通方程為：.設(shè)，，可得，消去和得到：.即，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，， 則，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值：.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再分類討論，分別計(jì)算可得；（2）利用絕對(duì)值三角不等式得到，依題意可得，兩邊平方解得即可；【小問(wèn)1詳解】 解：當(dāng)時(shí)，，∵，∴或或，∴或，∴不等式的解集為．【小問(wèn)2詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，若有解，則，即，且，解得，