四川省成都市石室中學2023屆高三下學期三診模擬考試文科數(shù)學Word版含解析.docx

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成都石室中學2022-2023學年度下期高2023屆三診模擬考試文科數(shù)學試卷（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答.答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題知圖中陰影部分表示的集合為，，再根據(jù)集合運算求解即可.【詳解】解：由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為，因為，所以，因為，所以或，所以.故選：B.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 2.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，則復數(shù)z共軛復數(shù)為（）A.2B.2C.2D.2【答案】A【解析】【分析】由復數(shù)的乘、除法運算化簡復數(shù)，再由共軛復數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以復數(shù)的共軛復數(shù)還是2.故選：A.3.空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為、、、、和六檔，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴重污染”六個等級．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，則下面說法中正確的是（）．A.這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折線圖直接分析各選項.【詳解】A選項：這14天中空氣質(zhì)量為“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A選項錯誤；B選項：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低，空氣質(zhì)量越來越好，B選項正確；C選項：這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是，C選項錯誤；D選項：方差表示波動情況，根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動最小的是9日到11日，所以方程最小的是第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 9日到11日，D選項錯誤；故選：B.4.已知，則“”是“有兩個不同的零點”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有2個零點，求參數(shù)的取值范圍，再判斷充分，必要條件.【詳解】若有兩個不同的零點，則，解得或，所以“”是“有兩個不同的零點”的充分不必要條件.故選：A5.已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】若α∥β，mα，mβ，則m，n可能平行也可能異面，故B錯誤；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故C錯誤；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A錯誤；若m∥n，n⊥α，根據(jù)線面垂直的第二判定定理，我們易得m⊥α，故D正確.6.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，，則（）A.16B.18C.20D.22【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，因為是等差數(shù)列的前項和，第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以由，，可得，所以，故選：B7.英國物理學家和數(shù)學家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)及物體經(jīng)過物體的溫度為得出的值，再求出時的值即可．【詳解】由題意得，，，代入，，即，所以，所以，由題意得，，代入，即，得，即，解得，即若使物體的溫度為，需要冷卻，故選：C．8.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 9.若三棱錐P-ABC的所有頂點都在同一個球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，，，則該球的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先補形為長方體，再根據(jù)長方體外接球計算球的體積即可.【詳解】因為PA⊥平面ABC，，所以可將該三棱錐進行補形，補成一個長方體，從而長方體的外接球就是該三棱錐的外接球，則外接球的直徑為，得，故三棱錐P-ABC的外接球的體積為.故選：D.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】求出的解析式，根據(jù)在上單調(diào)遞增得可得答案.【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，即，第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以的最大值為.故選：A.11.已知函數(shù)定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足，則（）A.B.0C.2D.2023【答案】B【解析】【分析】由已知條件結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的周期為4，利用賦值法可得，再結(jié)合周期可求得結(jié)果.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)，由，令，得，則，又，得，由，令，得，則，由，令，得，則，所以.故選：B．12.設(shè)A，B是拋物線C：上兩個不同的點，О為坐標原點，若直線OA與OB的斜率之積為-4，則下列結(jié)論正確的有（）①②③直線AB過拋物線C的焦點④面積的最小值是2第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達定理代入，可判斷③；從而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，可判斷①；再表示出的面積可判斷④；對于②取，可判斷；從而得出答案.【詳解】取，，滿足，從而，故②錯誤；由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，.因為，所以，所以直線的方程為，則直線過點，因為拋物線的焦點為，所以直線過焦點，故③正確；則由拋物線的性質(zhì)可知，故①正確；由上可得直線的方程為，則，原點到直線的距離，則，故④正確.故選：A第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式求得的值，得到第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的坐標，利用向量模的公式，即可求解．【詳解】因為，可得，又因為，可得，解得，所以，所以.故答案為：.14.2023年杭州亞運會需招募志愿者，現(xiàn)從甲、乙等5名志愿者中任意選出2人開展應(yīng)急救助工作，則甲、乙2人中恰有1人被選中的概率為______.【答案】##0.6【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：記另外3人為，，，從這5人中任意選出2人，總事件包括（甲，乙），（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），，，，共10種情況，其中甲、乙2人中恰有1人被選中的事件包括（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），共6種情況，故所求的概率為.故答案為：15.已知實數(shù)x，y滿足不等式組，且的最大值為，則實數(shù)m的值為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線性規(guī)劃畫出不等式組的取值區(qū)間，將轉(zhuǎn)換為可知為該方程截距，由此代入端點C取得最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，且點，，，.由題意，知在點C處取得最大值，即，解得.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故答案為：16.如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內(nèi)切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設(shè)圓，圓…的面積依次為，…，那么__________．【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.根據(jù)圓切線的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由圓的面積公式可知是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項求和公式計算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)圓與弧AB相切于點D，圓，圓與OA分別切于點C，E，則，.設(shè)圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.因為，所以.在中，，則，即，解得.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在中，，則，即，解得.同理可得，，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.又圓的面積為，所以面積，，，…，構(gòu)成一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.“城市公交”泛指城市范圍內(nèi)定線運營的公共汽車及軌道交通等交通方式，也是人們?nèi)粘３鲂械闹饕绞?某城市的公交公司為了方便市民出行，科學規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間（x分鐘）68101214等候人數(shù)（y人）1518202423（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出折線圖，易知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）建立y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù).附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，；相關(guān)系數(shù)；.【答案】（1）答案見解析（2），31人.【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，分別計算數(shù)據(jù)求解即可；（2）根據(jù)回歸直線方程的參數(shù)計算公式可得關(guān)于的回歸直線方程為，再代入求解即可.【小問1詳解】由題意，知，，，，所以.又，則.因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.95，說明與的線性相關(guān)非常高，所以可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.【小問2詳解】第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由（1）可得，，則，所以關(guān)于的回歸直線方程為，當時，，所以預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù)為31人.18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，△ABC的外接圓的半徑為1，且.（1）求a的值；（2）若，求△ABC的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系、和角正弦公式化簡得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦定理求a值；（2）余弦定理求得，再應(yīng)用三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由已知及正弦定理得：.又，即.又，所以.因為△ABC的外接圓的半徑為1，所以，第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，得，又，所以，則.【小問2詳解】在△ABC中，由余弦定理得：，且，，所以，解得或（舍去），所以△ABC的面積為.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，AC與BD相交于點O，，，，，M為線段PD的中點.（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；（2）若直線OM與平面ABCD所成角為60°，求三棱錐O-ABM的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明；（2）根據(jù)，可知，根據(jù)幾何關(guān)系，即可求解三棱錐的體積.【小問1詳解】證明：因為四邊形ABCD為菱形，，所以O(shè)為BD的中點，.又因為，所以.又，平面，所以BD⊥平面PAC.又平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【小問2詳解】因為，O為AC的中點，所以.又PO⊥BD，AC∩BD＝O，平面，所以PO⊥平面ABCD.因為M為線段PD的中點，O為BD的中點，所以.又因為直線OM與平面ABCD所成角為60°，所以直線PB與平面ABCD所成角為60°，即∠PBO＝60°.因為，，所以△ABD是等邊三角形，所以O(shè)B＝1，，則，則點M到平面ABCD的距離為，所以，故三棱錐O-ABM的體積為.20.已知橢圓C：的右焦點為，點M是橢圓C上異于左、右頂點，的任意一點，且直線與直線的斜率之積為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線與直線相交于點N，且點E是線段的中點，，求∠EFM的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上，結(jié)合斜率公式，即可化簡求值；第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）首先設(shè)直線的方程為，，分別與直線，以及橢圓聯(lián)立方程，求點的坐標，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，，，，直線與直線的斜率之積為，所以，所以.又因為，，所以，，故橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，.由得.因為E是線段的中點，，所以，不妨設(shè).又，，所以，解得.由，得，則，所以，第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故.由橢圓的對稱性可知，當時，.綜上所述，.21.已知函數(shù)的極小值點為．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)，，恒成立，求實數(shù)m取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的極小值點為，得得出的值，再檢驗得的值滿足題意，分別求出和即可寫出函數(shù)在處的切線方程；（2）法一：由，恒成立，得出，令得出或，分類討論與的大小關(guān)系即可得出m的取值范圍；法二：首先由及得出當時，則，當時，，則，當時，顯然成立，設(shè)，由確定的最值，即可求出的范圍．【小問1詳解】因為的定義域為，，函數(shù)的極小值點為，所以，解得，所以，，令得，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)的極小值點，滿足題意，因為，，第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以函數(shù)在處的切線方程為，即，所以函數(shù)在處的切線方程為．【小問2詳解】法一：分類討論因為，，恒成立，所以，，因為，所以，令得，①當即時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，不滿足，舍去；②當即時，，所以在單調(diào)遞增，所以，滿足；③當即時，，則時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為．法二：變量分離因為，，，第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以在上單調(diào)遞增，且，即當時，，當時，，因為，恒成立，所以，①當時，，即恒成立，設(shè)，則，令得或，因為，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以時，；②時，，即恒成立，由①得，，因為當時，當時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以當，，所以；③當時，成立，綜上所述，．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若曲線與有且僅有一個公共點，求的值；（2）若曲線與相交于A，B兩點，且，求直線AB的極坐標方程.【答案】（1）或（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的參數(shù)方程和可得曲線是以為圓心，為半徑的圓.利用公式法將極坐標方程化為直角坐標方程，得曲線是以為圓心，為半徑的圓.結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系計算即可求解；（2）由（1），將兩圓的方程相減可得直線AB的方程，利用點到直線的距離公式，結(jié)合圓的垂徑定理計算即可求解.【小問1詳解】由為參數(shù))，得為參數(shù))，又，所以曲線的普通方程為，即曲線是以為圓心，為半徑的圓.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，由得，即曲線是以為圓心，為半徑圓.若曲線與有且僅有一個公共點，則兩圓相切，所以或.由，解得或.【小問2詳解】將兩圓方程相減，得，即直線AB的方程為.因為，所以圓的圓心到直線AB的距離為，解得或，則直線AB的方程為或，故直線AB的極坐標方程為或.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）是否存在正實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）寫出的分段型式，解不等式；第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）結(jié)合函數(shù)的圖象可知，再進一步證明.【小問1詳解】，①當時，，，；②當時，，則，，則；③當時，，，，則.綜上所述，不等式解集為.【小問2詳解】假設(shè)存在正實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立.，當時，因為成立，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，所以.下面進一步驗證：若，則，成立.①當時，，因為，所以，所以成立.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ②當時，.因為，所以，所以成立.綜上所述，存在正實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立，此時的取值范圍是.第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 第24頁/共24頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司