四川省成都市石室中學(xué)2023屆高三下學(xué)期三診模擬考試理科數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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成都石室中學(xué)2022—2023學(xué)年度下期高2023屆三診模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷(全卷滿分150分,考試時間120分鐘)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答.答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡上并交回.第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知全集,集合,,則圖中陰影部分表示的集合為()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題知圖中陰影部分表示的集合為,,再根據(jù)集合運算求解即可.【詳解】解:由圖可得,圖中陰影部分表示的集合為,因為,所以,因為,所以或,所以.故選:B.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 2.已知是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為()A.2B.2C.2D.2【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運算化簡復(fù)數(shù),再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)還是2.故選:A.3.空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字,空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為、、、、和六檔,分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴重污染”六個等級.如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,則下面說法中正確的是().A.這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折線圖直接分析各選項.【詳解】A選項:這14天中空氣質(zhì)量為“中度污染”有4日,6日,9日,10日,共4天,A選項錯誤;B選項:從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低,空氣質(zhì)量越來越好,B選項正確;C選項:這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是,C選項錯誤;D選項:方差表示波動情況,根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動最小的是9日到11日,所以方程最小的是第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 9日到11日,D選項錯誤;故選:B.4.已知為兩條不同的直線,為兩個不同的平面,則下列命題中正確的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】若α∥β,mα,mβ,則m,n可能平行也可能異面,故B錯誤;若m⊥α,m⊥n,則n∥α或nα,故C錯誤;若mα,nα,m∥β,n∥β,由于m,n不一定相交,故α∥β也不一定成立,故A錯誤;若m∥n,n⊥α,根據(jù)線面垂直的第二判定定理,我們易得m⊥α,故D正確.5.設(shè)是等差數(shù)列的前項和,已知,,則()A.16B.18C.20D.22【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為,因為是等差數(shù)列的前項和,所以由,,可得,所以,故選:B6.英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是,環(huán)境溫度是,則經(jīng)過物體的溫度將滿足,其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體,若放在的空氣中冷卻,經(jīng)過物體的溫度為第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 ,則若使物體的溫度為,需要冷卻()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)及物體經(jīng)過物體的溫度為得出的值,再求出時的值即可.【詳解】由題意得,,,代入,,即,所以,所以,由題意得,,代入,即,得,即,解得,即若使物體的溫度為,需要冷卻,故選:C.7.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點,以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點,則雙曲線的方程為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點代入可得,連接第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 ,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.8.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若在上單調(diào)遞增,則的最大值為()A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】求出的解析式,根據(jù)在上單調(diào)遞增得可得答案.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象,因為,所以,因為在上單調(diào)遞增,所以,即,所以的最大值為.故選:A.9.將4個1和2個0隨機排成一行,則2個0相鄰的概率為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】考慮2個0有相鄰和不相鄰兩種情況,故計算出這兩種情況的排法數(shù),即可求得答案.【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行,可利用插空法:4個1產(chǎn)生5個空,若2個0相鄰,則有種排法;若2個0不相鄰,則有種排法,所以2個0相鄰的概率為,故選:A10.如圖,在直三棱柱中,,,,點P在棱上,且P靠近B點,當時,三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A.B.C.D.【答案】D第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系利用勾股定理可以求出,進而可以求出結(jié)果.【詳解】在中,由余弦定理可得,解得,,由得:,解得:或,又因為,且P靠近B點,所以.由正弦定理可得,外接圓半徑,三棱錐P-ABC的外接球半徑R滿足:,∴外接球表面積,故選:D.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,且為奇函數(shù),,,則()A.2021B.2023C.4043D.4045【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意和函數(shù)的對稱性可得,進而,則函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),分別求出的值,結(jié)合函數(shù)的周期即可求解.【詳解】由,令,得,所以.由為奇函數(shù),得,所以,故①,又②,由①和②得,即,所以③,令,得,得;第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 令,得,得.又④,由③-④得,即,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),故,所以,所以.故選:A.12.已知拋物線的焦點為,點與點關(guān)于原點對稱,過點的直線與拋物線交于,兩點(點C和點A在點B的兩側(cè)),則下列命題中正確的有①若BF為的中線,則;②若BF為的平分線,則;③存在直線l,使得;④對于任意直線l,都有.A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線,,都在第一象限,如圖,聯(lián)立拋物線方程,利用韋達定理表示、、、.根據(jù)中線的性質(zhì)可得,求出A、B的坐標即可判斷①;根據(jù)角平分線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì),結(jié)合拋物線的定義計算求出,即可判斷②;根據(jù)題意可得,列出方程求出即可判斷③;根據(jù)拋物線的定義和,即可判斷④.【詳解】由題意,設(shè)直線,令,都在第一象限,由,得,如圖所示.,得,且,即,所以,,則,.①若BF為的中線,則,所以,所以,故,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 所以,則,故①正確;②若BF為的平分線,則,分別作AD,BE垂直準線于點D,E,則且,所以,即,則,將代入整理,得,即,則,所以,故②正確;③若,即,即為等腰直角三角形,此時,則,所以,所以,所以,所以,此時A,B為同一點,不合題設(shè),故③錯誤;④,而,結(jié)合,得,即恒成立,故④正確.故選:C.【點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;涉及有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 13.已知,若,則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得,結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式求得的值,得到的坐標,利用向量模的公式,即可求解.【詳解】因為,可得,又因為,可得,解得,所以,所以.故答案為:.14.在二項式的展開式中,項的二項式系數(shù)為__________.【答案】20【解析】【分析】寫出展開式通項公式,由指數(shù)為3求出項數(shù),再得系數(shù).【詳解】因為,,1,2,…,6.令,得,所以項的二項式系數(shù)為.故答案為:2015.如圖,已知在扇形OAB中,半徑,,圓內(nèi)切于扇形OAB(圓和,,弧AB均相切),作圓與圓,,相切,再作圓與圓,,相切,以此類推.設(shè)圓,圓…的面積依次為,…,那么__________.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【答案】【解析】【分析】如圖,設(shè)圓,圓,圓,…,圓的半徑分別為,,,…,.根據(jù)圓切線的性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列的定義可得是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,由圓的面積公式可知是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列前n項求和公式計算即可求解.【詳解】如圖,設(shè)圓與弧AB相切于點D,圓,圓與OA分別切于點C,E,則,.設(shè)圓,圓,圓,…,圓的半徑分別為,,,…,.因為,所以.在中,,則,即,解得.在中,,則,即,解得.同理可得,,所以是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.又圓的面積為,所以面積,,,…,構(gòu)成一個以為首項,以為公比的等比數(shù)列,則.故答案為:.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 16.已知函數(shù),.當時,,則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則可得,利用導(dǎo)數(shù)和放縮法,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)研究當、、、時函數(shù)的性質(zhì),進而得出函數(shù)的性質(zhì),即可求出a的取值范圍.【詳解】由已知,得.令.①若,則,當時,,所以在上單調(diào)遞增,所以當時,成立.②若,則圖象的對稱軸為直線,所以在上單調(diào)遞增,.i)當時,,,,所以,所以在上單調(diào)遞增,所以當時,成立;ii)當時,,,使,當時,,所以,所以在上單調(diào)遞減,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 所以當時,,不合題意.③若,則.令,,則,當時,,所以在上單調(diào)遞減,所以當時,,所以當時,,所以.令,由解得,,即,使,不合題意.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用兩種常用的轉(zhuǎn)化方法:一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,?;癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答;第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.“城市公交”泛指城市范圍內(nèi)定線運營的公共汽車及軌道交通等交通方式,也是人們?nèi)粘3鲂械闹饕绞?某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):間隔時間(x分鐘)68101214等候人數(shù)(y人)1518202423(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出折線圖,易知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)建立y關(guān)于x的回歸直線方程,并預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù).第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 附:對于一組數(shù)據(jù),,…,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,;相關(guān)系數(shù);.【答案】(1)答案見解析(2),31人.【解析】【分析】(1)根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式,分別計算數(shù)據(jù)求解即可;(2)根據(jù)回歸直線方程的參數(shù)計算公式可得關(guān)于的回歸直線方程為,再代入求解即可.【小問1詳解】由題意,知,,,,所以.又,則.因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.95,說明與的線性相關(guān)非常高,所以可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.【小問2詳解】由(1)可得,,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 則,所以關(guān)于的回歸直線方程為,當時,,所以預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù)為31人.18.在銳角中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,.(1)求角的大??;(2)若,,求c的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由,,代入得,再由正弦定理得出,即可求出,結(jié)合是銳角三角形即可得出角的大??;(2)由得,設(shè),,則,,由余弦定理得出,和,整理得出關(guān)于的方程,求解即可得出c的值.【小問1詳解】在中,因,,所以,由正弦定理,知,且,則,所以,解得,又因為為銳角三角形,故.【小問2詳解】因為,所以點D在線段AC上,且,設(shè),,則,,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 在中,由余弦定理,知①,在中,由余弦定理,知②,由①+②,整理得,即③,在中,,即④,將③代入④,整理得,解得或(舍去),故.19.如圖,在四棱雉中,四邊形ABCD為菱形,AC與BD相交于點O,,,,,M為線段PD的中點.(1)求證:平面平面PAC;(2)若直線OM與平面ABCD所成角為,求平面PAD與平面PBC所成的二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】【分析】(1)由菱形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)得到線線垂直,進而得到線面垂直,從而證明面面垂直;(2)建立空間直角坐標系,利用空間向量求解二面角的余弦值,進而求出正弦值.【小問1詳解】因為四邊形ABCD為菱形,,所以O(shè)為BD的中點,,又因為,所以.又,平面PAC,平面PAC,所以平面PAC,又平面PBD,所以平面平面PAC.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【小問2詳解】因為,O為AC的中點,所以.又,,平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD.因為M為線段PD的中點,O為BD的中點,所以.又因為直線OM與平面ABCD所成角為,所以直線PB與平面ABCD所成角為,即.因為,,所以是等邊三角形,所以,,則.如圖,以點O坐標原點,以O(shè)A,OB,OP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面PAD和平面PBC的一個法向量分別為,.由得令,得.由得令,得.因此,,所以平面PAD與平面PBC所成的二面角的正弦值為.20.已知橢圓的右焦點為,點M是橢圓C上異于左、右頂點,的任意一點,且直線與直線的斜率之積為.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 (1)求橢圓的標準方程;(2)若直線與直線相交于點,且,求證:.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)焦點坐標及斜率關(guān)系列式求解,寫出橢圓標準方程即可;(2)根據(jù)向量關(guān)系得出是線段的中點,再應(yīng)用點到直線距離證明角平分即證.【小問1詳解】因為點是橢圓上異于左、右頂點,的任意一點,且直線與直線的斜率之積為,設(shè),橢圓的左、右頂點坐標分別為,,故,又因為,,所以,,故橢圓的標準方程為.小問2詳解】設(shè)直線的方程為,.由得.因為,所以點是線段的中點,即.設(shè).由得,則①當軸時,,此時,所以,,.此時,點在的平分線所在的直線或上,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 即.②當時,直線MF的斜率為,所以直線MF的方程為,則點E到直線MF的距離為,所以點E在的平分線上,即.綜上所述,.21.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線斜率為,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù)有且僅有三個不同的零點,分別設(shè)為,,.(i)求實數(shù)的取值范圍;(ii)求證:.【答案】(1)(2)(i);(ii)證明見解析【解析】【分析】(1)求出,由可得答案;(2)i)令,求出,設(shè),①當時,根據(jù)在上單調(diào)遞減,可得函數(shù)不可能有三個不同的零點;②當時,根據(jù)的單調(diào)性,由函數(shù)零點存在性定理可知,可得有且僅有三個不同的零點;ii)函數(shù)的三個不同的零點分別為,,,所以由i)可知,.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【小問1詳解】因為,函數(shù)在處的切線斜率為,所以,則;【小問2詳解】i)因為,所以,令,因為函數(shù)有且僅有三個不同的零點,所以函數(shù)有且僅有三個不同的零點,,設(shè),則,①當即時,,,所以在上單調(diào)遞減,所以不可能有三個不同的零點,即函數(shù)不可能有三個不同的零點,舍去;②當即時,有兩個不同的零點,由,得,,所以,,又因為開口向下,所以當時,,,在上單調(diào)遞減;當時,,,在上單調(diào)遞增;當時,,,在上單調(diào)遞減,因為,且,所以,所以,因為,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 令,,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,由函數(shù)零點存在性定理可知,在區(qū)間上有唯一的一個零點,因為,又,所以,則,所以在區(qū)間上有唯一的一個零點,故當時,有且僅有三個不同的零點,2,,綜上所述,,若函數(shù)有且僅有三個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是;ii)證明:因為函數(shù)的三個不同的零點分別為,,,所以由i)可知,.【點睛】函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略:1、分類參數(shù)法:一般命題情境為給出區(qū)間,求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍,通常解法為從中分離參數(shù),然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍;2、分類討論法:一般命題情境為沒有固定的區(qū)間,求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍,通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,先確定參數(shù)分類標準,在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意,將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起,即可為所求參數(shù)的范圍.(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 如果多做,那么按所做的第一題計分.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)若曲線與有且僅有一個公共點,求的值;(2)若曲線與相交于A,B兩點,且,求直線AB的極坐標方程.【答案】(1)或(2)或【解析】【分析】(1)根據(jù)圓的參數(shù)方程和可得曲線是以為圓心,為半徑的圓.利用公式法將極坐標方程化為直角坐標方程,得曲線是以為圓心,為半徑的圓.結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系計算即可求解;(2)由(1),將兩圓的方程相減可得直線AB的方程,利用點到直線的距離公式,結(jié)合圓的垂徑定理計算即可求解.【小問1詳解】由為參數(shù)),得為參數(shù)),又,所以曲線的普通方程為,即曲線是以為圓心,為半徑的圓.,由得,即曲線是以為圓心,為半徑的圓.若曲線與有且僅有一個公共點,則兩圓相切,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 所以或.由,解得或.【小問2詳解】將兩圓的方程相減,得,即直線AB的方程為.因為,所以圓的圓心到直線AB的距離為,解得或,則直線AB的方程為或,故直線AB的極坐標方程為或.[選修4-5:不等式選講]23.已知函數(shù).(1)解不等式;(2)是否存在正實數(shù),使得對任意的實數(shù),都有成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)存在,【解析】【分析】(1)寫出的分段型式,解不等式;(2)結(jié)合函數(shù)的圖象可知,再進一步證明.【小問1詳解】,①當時,,,;第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 ②當時,,則,,則;③當時,,,,則.綜上所述,不等式的解集為.【小問2詳解】假設(shè)存在正實數(shù),使得對任意的實數(shù),都有成立.,當時,因為成立,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,,所以.下面進一步驗證:若,則,成立.①當時,,因為,所以,所以成立.②當時,.因為,所以,所以成立.綜上所述,存在正實數(shù),使得對任意的實數(shù),都有成立,第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 此時的取值范圍是.第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 第26頁/共26頁學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司

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