湖南省衡陽(yáng)市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期模擬數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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衡陽(yáng)市八中2024屆高三上學(xué)期模擬試卷數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.設(shè)集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解絕對(duì)值不等式和函數(shù)定義域解得集合，再求交集即可.【詳解】根據(jù)題意，可得，故故選：.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則、結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D3.函數(shù)的最小值為（）A.-2B.C.D.0【答案】B【解析】 【分析】化簡(jiǎn)，對(duì)稱軸處取最小值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，取得最小值為故選：B4.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且滿足，則等差數(shù)列{an}的公差為（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】；，解得，.故選：D5.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)．現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑40cm，盆底直徑20cm．現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸截面和相似關(guān)系，以及圓臺(tái)體積即可求解.【詳解】如圖所示，畫(huà)出圓臺(tái)立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)與于點(diǎn). 根據(jù)題意，，，，，設(shè)，所以，解得，，所以，故選：B.6.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為80，則m的值為（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】，在的展開(kāi)式中，由，令，得r無(wú)解，即的展開(kāi)式?jīng)]有的項(xiàng)；在的展開(kāi)式中，由，令，解得r=3， 即的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為，又的展開(kāi)式中的系數(shù)為80，所以，解得.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，且為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】連結(jié).判斷出為直角三角形，且，由雙曲線的定義得到，求出離心率.【詳解】如圖示，連結(jié).因?yàn)闉榈冗吶切?，所?所以.因?yàn)?，所?又，所以，所以.在中，，所以.由雙曲線的定義可得：，即， 所以離心率.故選：A.8.設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出.構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，得到；構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，即為.即可得到答案.【詳解】記.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.記.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.所以.記.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.所以.綜上所述：.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.立德中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50，60）?[60，70）?[70，80）?[80，90）?[90，100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說(shuō)法正確的是（）A.圖中的x值為0.020B.這組數(shù)據(jù)的極差為50C.得分在80分及以上的人數(shù)為400D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為77【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有長(zhǎng)方形的面積和為1，以及極值、頻數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由，可解得，故選項(xiàng)A正確；頻率分布直方圖無(wú)法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項(xiàng)B不正確；得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為，故人數(shù)為，故選項(xiàng)C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（） AB.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由可求出，由結(jié)合可求.【詳解】由圖可知且，，由圖可知，，，，又，則，即，又由圖，則，即，則，.故選：AD.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過(guò)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.B.延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線C.D.若平分，則【答案】AB【解析】 【分析】根據(jù)題設(shè)和拋物線的性質(zhì)得到點(diǎn)，，將點(diǎn)代入拋物線的方程得到，從而求出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)A和C，又結(jié)合直線和直線得到點(diǎn)，即可判斷B選項(xiàng)，若平分，得到，轉(zhuǎn)化為直線斜率和直線的斜率的關(guān)系式即可求出.【詳解】由題意知，點(diǎn)，，如圖：將代入，得，所以，則直線的斜率，則直線的方程為，即，聯(lián)立，得，解得，，又時(shí)，，則所以，所以A選項(xiàng)正確；又，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又知直線軸，且，則直線的方程為，又，所以直線的方程為，令，解得，即，在直線上，所以，，三點(diǎn)共線，所以B選項(xiàng)正確； 設(shè)直線的傾斜角為（），斜率為，直線的傾斜角為，若平分，即，即，所以，則，且，解得，又，解得：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.直線為異面直線B.C.直線與平面所成角的正切值為D.過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9【答案】BC【解析】【分析】作出圖形，利用中位線定理和平行的傳遞性即可判斷選項(xiàng)A；利用等體積法計(jì)算即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)線面角的概念即可判斷選項(xiàng)C；利用平面的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，連接， 由題意可知，因?yàn)?，所以，所以共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，由題意可知，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，連接，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，連接， 根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，所以平面即為過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底，下底為，高為，所以截面面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，，若與共線，則______.【答案】##1.5【解析】【分析】確定，根據(jù)平行得到，解得答案.【詳解】，，則，，故，解得故答案為：14.六個(gè)身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那個(gè)人比他（她）前面的那個(gè)人高，則共有________種排法．【答案】90【解析】【分析】根據(jù)有限制的排列問(wèn)題求解即可.【詳解】由于六個(gè)身高不同人排成二排三列，每一列后面的那個(gè)人比他（她）前面的那個(gè)人高，則排法有種．故答案為：. 15.已知函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，則有，則，則，化簡(jiǎn)整理，分離常數(shù)再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)，則，所以，由，得，則令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值是.故答案為：.16.如圖，已知拋物線C：，圓E：，直線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積等于，則直線AB被圓E所截的弦長(zhǎng)最小值為_(kāi)_______． 【答案】【解析】【分析】先由兩直線斜率之積構(gòu)造齊次化方程，得出直線AB過(guò)定點(diǎn)，再利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算弦長(zhǎng)確定最值即可.【詳解】設(shè)，，設(shè)：，又，∴，∴，∴．∴，∴，∴直線AB恒過(guò)點(diǎn)，由圖結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式可知，當(dāng)圓心E到動(dòng)直線AB的距離最大時(shí)，即當(dāng)直線時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦最小為．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.17.在①，②中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答． 問(wèn)題：在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若的外接圓半徑為2，且，求ac．注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①利用余弦定理即可求出；選②根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊換角即可得到答案；（2）首先求出，再利用正弦定理整體求出即可.【小問(wèn)1詳解】選擇條件①：因?yàn)椋谥?，由余弦定理可得，即，則，因?yàn)?，所?選擇條件②：因?yàn)?，在中，由正弦定理可得，即，則，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則，即，又，所以.因?yàn)榈耐饨訄A半徑，所以由正弦定理可得，所以.18.已知數(shù)列，滿足，，. （1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）依題意，.又.故為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知.所以.①②①-②得，故.19.某市航空公司為了解每年航班正點(diǎn)率對(duì)每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對(duì)近8年（2015年～2022年）每年航班正點(diǎn)率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值. （1）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）該市航空公司預(yù)計(jì)2024年航班正點(diǎn)率為，利用（1）中的回歸方程，估算2024年顧客對(duì)該市航空公司投訴的次數(shù)；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市所有顧客選擇乘坐該航空公司航班的概率為，現(xiàn)從該市所有顧客中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選擇乘坐該航空公司航班的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：【答案】（1）（2）（3）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)利用最小二乘法求出，即可得解；（2）將代入回歸方程即可得解；（3）先寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，再求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【小問(wèn)1詳解】，則，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以2024年顧客對(duì)該市航空公司投訴的次數(shù)為次； 【小問(wèn)3詳解】可取，，，，，，所以分布列為所以.20.如圖所示，在梯形ABCD中，，，四邊形ACFE為矩形，且平面ABCD，．（1）求證：平面BCF；（2）點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角為．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）M與E重合【解析】【分析】（1）可證平面BCF，從而得到需求證的線面垂直.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面MAB的一個(gè)法向量和平面FCB的一個(gè)法向量后可求二面角的余弦值，從而可求參數(shù)的值，故可得的位置. 【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，在梯形中，過(guò)分別作的垂線，垂足分別為，∵，，所以，∴，∴，∴，則．∵平面ABCD，平面ABCD，∴，而，CF，平面BCF，∴平面BCF．∵，∴平面BCF．【小問(wèn)2詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA，CB，CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，．設(shè)為平面MAB的法向量，由得取，則易知是平面FCB的一個(gè)法向量，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，即與重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角為． 21.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線．（1）求橢圓的方程；（2）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）分別當(dāng)和時(shí)，求得直線的方程，聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，求得直線的方程，令，結(jié)合化簡(jiǎn)得到，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，又由是軸上一點(diǎn)，且三點(diǎn)共線，可得所以，解得， 代入，可得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，可得，此時(shí)，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，同理可得，此時(shí)，可得直線的方程為，由，解得，即兩直線的交點(diǎn)為，下面證明直線經(jīng)過(guò)軸上定點(diǎn)．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，所以直線的方程：．令，可得．因?yàn)?，所以?所以直線過(guò)定點(diǎn)．22.已知函數(shù)（，）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)m進(jìn)行分類討論，求出單調(diào)性；（2）參變分離后，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對(duì)求導(dǎo)，求解其最小值，最終求出m的取值范圍，過(guò)程用到了同構(gòu)和隱零點(diǎn)的方法.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，其定義域?yàn)樗裕?dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，由得：，所以在上單調(diào)遞增；得：，所以在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，所以在上恒成立?令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，使．即，即，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極小值，也是最小值.令，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即．所以的最小值，所以，即，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．