湖南省衡陽市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期模擬數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《湖南省衡陽市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期模擬數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

衡陽市八中2024屆高三上學(xué)期模擬試卷數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.設(shè)集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解絕對值不等式和函數(shù)定義域解得集合，再求交集即可.【詳解】根據(jù)題意，可得，故故選：.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則、結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的特征進行求解即可.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D3.函數(shù)的最小值為（）A.-2B.C.D.0【答案】B【解析】 【分析】化簡，對稱軸處取最小值即可.【詳解】當(dāng)時，取得最小值為故選：B4.已知等差數(shù)列的前5項和，且滿足，則等差數(shù)列{an}的公差為（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】；，解得，.故選：D5.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個圓臺．現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑40cm，盆底直徑20cm．現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時，盆內(nèi)水的體積近似為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸截面和相似關(guān)系，以及圓臺體積即可求解.【詳解】如圖所示，畫出圓臺立體圖形和軸截面平面圖形，并延長與于點. 根據(jù)題意，，，，，設(shè)，所以，解得，，所以，故選：B.6.已知的展開式中的系數(shù)為80，則m的值為（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用二項式展開式的通項公式求出的項的系數(shù)，進而得出結(jié)果.【詳解】，在的展開式中，由，令，得r無解，即的展開式?jīng)]有的項；在的展開式中，由，令，解得r=3， 即的展開式中的項的系數(shù)為，又的展開式中的系數(shù)為80，所以，解得.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點分別為，點M是雙曲線右支上一點，且為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】連結(jié).判斷出為直角三角形，且，由雙曲線的定義得到，求出離心率.【詳解】如圖示，連結(jié).因為為等邊三角形，所以.所以.因為，所以.又，所以，所以.在中，，所以.由雙曲線的定義可得：，即， 所以離心率.故選：A.8.設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出.構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，得到；構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，即為.即可得到答案.【詳解】記.因為，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即，所以.記.因為，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即，所以.所以.記.因為，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即，所以.所以.綜上所述：.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20 分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.立德中學(xué)舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50，60）?[60，70）?[70，80）?[80，90）?[90，100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）A.圖中的x值為0.020B.這組數(shù)據(jù)的極差為50C.得分在80分及以上的人數(shù)為400D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為77【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有長方形的面積和為1，以及極值、頻數(shù)以及平均數(shù)的計算，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由，可解得，故選項A正確；頻率分布直方圖無法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項B不正確；得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為，故人數(shù)為，故選項C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為：故選項D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（） AB.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由可求出，由結(jié)合可求.【詳解】由圖可知且，，由圖可知，，，，又，則，即，又由圖，則，即，則，.故選：AD.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標(biāo)原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）A.B.延長交直線于點，則，，三點共線C.D.若平分，則【答案】AB【解析】 【分析】根據(jù)題設(shè)和拋物線的性質(zhì)得到點，，將點代入拋物線的方程得到，從而求出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線得到點的坐標(biāo)，即可判斷選項A和C，又結(jié)合直線和直線得到點，即可判斷B選項，若平分，得到，轉(zhuǎn)化為直線斜率和直線的斜率的關(guān)系式即可求出.【詳解】由題意知，點，，如圖：將代入，得，所以，則直線的斜率，則直線的方程為，即，聯(lián)立，得，解得，，又時，，則所以，所以A選項正確；又，所以C選項錯誤；又知直線軸，且，則直線的方程為，又，所以直線的方程為，令，解得，即，在直線上，所以，，三點共線，所以B選項正確； 設(shè)直線的傾斜角為（），斜率為，直線的傾斜角為，若平分，即，即，所以，則，且，解得，又，解得：，所以D選項錯誤；故選：AB.12.如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱的中點，則（）A.直線為異面直線B.C.直線與平面所成角的正切值為D.過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9【答案】BC【解析】【分析】作出圖形，利用中位線定理和平行的傳遞性即可判斷選項A；利用等體積法計算即可判斷選項B；根據(jù)線面角的概念即可判斷選項C；利用平面的性質(zhì)即可判斷選項D.【詳解】對于A，連接， 由題意可知，因為，所以，所以共面，故選項A錯誤；對于B，連接，由題意可知，所以，故選項B正確；對于C，連接，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故選項C正確；對于D，連接， 根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，所以平面即為過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底，下底為，高為，所以截面面積為，故選項D錯誤；故選：BC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，，若與共線，則______.【答案】##1.5【解析】【分析】確定，根據(jù)平行得到，解得答案.【詳解】，，則，，故，解得故答案為：14.六個身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那個人比他（她）前面的那個人高，則共有________種排法．【答案】90【解析】【分析】根據(jù)有限制的排列問題求解即可.【詳解】由于六個身高不同人排成二排三列，每一列后面的那個人比他（她）前面的那個人高，則排法有種．故答案為：. 15.已知函數(shù)且的圖象過定點A，且點A在直線上，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)所過的定點，則有，則，則，化簡整理，分離常數(shù)再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】函數(shù)且的圖象過定點，則，所以，由，得，則令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，取等號，所以的最小值是.故答案為：.16.如圖，已知拋物線C：，圓E：，直線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點，且直線OA與直線OB的斜率之積等于，則直線AB被圓E所截的弦長最小值為________． 【答案】【解析】【分析】先由兩直線斜率之積構(gòu)造齊次化方程，得出直線AB過定點，再利用直線與圓的位置關(guān)系計算弦長確定最值即可.【詳解】設(shè)，，設(shè)：，又，∴，∴，∴．∴，∴，∴直線AB恒過點，由圖結(jié)合圓的弦長公式可知，當(dāng)圓心E到動直線AB的距離最大時，即當(dāng)直線時，弦長最短，此時弦最小為．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.17.在①，②中任選一個作為已知條件，補充在下列問題中，并作答． 問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若的外接圓半徑為2，且，求ac．注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①利用余弦定理即可求出；選②根據(jù)正弦定理進行邊換角即可得到答案；（2）首先求出，再利用正弦定理整體求出即可.【小問1詳解】選擇條件①：因為，在中，由余弦定理可得，即，則，因為，所以.選擇條件②：因為，在中，由正弦定理可得，即，則，因為，所以，則，因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，則，即，又，所以.因為的外接圓半徑，所以由正弦定理可得，所以.18.已知數(shù)列，滿足，，. （1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由錯位相減法可求.【詳解】（1）依題意，.又.故為首項，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知.所以.①②①-②得，故.19.某市航空公司為了解每年航班正點率對每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對近8年（2015年～2022年）每年航班正點率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值. （1）求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）該市航空公司預(yù)計2024年航班正點率為，利用（1）中的回歸方程，估算2024年顧客對該市航空公司投訴的次數(shù)；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，該市所有顧客選擇乘坐該航空公司航班的概率為，現(xiàn)從該市所有顧客中隨機抽取4人，記這4人中選擇乘坐該航空公司航班的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)利用最小二乘法求出，即可得解；（2）將代入回歸方程即可得解；（3）先寫出隨機變量的所有可能取值，再求出對應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【小問1詳解】，則，所以，所以；【小問2詳解】當(dāng)時，，所以2024年顧客對該市航空公司投訴的次數(shù)為次； 【小問3詳解】可取，，，，，，所以分布列為所以.20.如圖所示，在梯形ABCD中，，，四邊形ACFE為矩形，且平面ABCD，．（1）求證：平面BCF；（2）點M在線段EF上運動，當(dāng)點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角為．【答案】（1）證明見解析（2）M與E重合【解析】【分析】（1）可證平面BCF，從而得到需求證的線面垂直.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面MAB的一個法向量和平面FCB的一個法向量后可求二面角的余弦值，從而可求參數(shù)的值，故可得的位置. 【小問1詳解】證明：設(shè)，在梯形中，過分別作的垂線，垂足分別為，∵，，所以，∴，∴，∴，則．∵平面ABCD，平面ABCD，∴，而，CF，平面BCF，∴平面BCF．∵，∴平面BCF．【小問2詳解】以C為坐標(biāo)原點，分別以直線CA，CB，CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，．設(shè)為平面MAB的法向量，由得取，則易知是平面FCB的一個法向量，∴，∵，∴當(dāng)時，即與重合時，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角為． 21.已知橢圓經(jīng)過點，左頂點為，右焦點為，已知點，且，，三點共線．（1）求橢圓的方程；（2）已知經(jīng)過點的直線l與橢圓交于，兩點，過點作直線的垂線，垂足為，求證：直線過定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）分別當(dāng)和時，求得直線的方程，聯(lián)立方程組，求得交點坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，求得直線的方程，令，結(jié)合化簡得到，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，將點代入橢圓的方程，可得，又由是軸上一點，且三點共線，可得所以，解得， 代入，可得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：當(dāng)時，此時直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，可得，此時，直線的方程為，當(dāng)時，同理可得，此時，可得直線的方程為，由，解得，即兩直線的交點為，下面證明直線經(jīng)過軸上定點．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，所以直線的方程：．令，可得．因為，所以． 所以直線過定點．22.已知函數(shù)（，）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對m進行分類討論，求出單調(diào)性；（2）參變分離后，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對求導(dǎo)，求解其最小值，最終求出m的取值范圍，過程用到了同構(gòu)和隱零點的方法.【小問1詳解】因為，其定義域為所以．當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，由得：，所以在上單調(diào)遞增；得：，所以在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】因為，，所以，所以在上恒成立． 令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以在上有唯一零點，使．即，即，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在處取得極小值，也是最小值.令，，當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即．所以的最小值，所以，即，所以實數(shù)m的取值范圍是．