經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子

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1、樂山師范學(xué)院級畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子物理與電子信息工程學(xué)院物理學(xué)[摘要]一維諧振動是一種最簡單的振動形式，許多復(fù)雜的運(yùn)動都可分析為一維諧振動。本文以一維諧振子為研究對象，首先討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子的運(yùn)動方程和能量特征，然后分析坐標(biāo)表象以及粒子數(shù)表象下的一維諧振子，最后討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子的區(qū)別與聯(lián)系。[關(guān)鍵詞]諧振子經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)運(yùn)動方程能量分布1前言所謂諧振，在運(yùn)動學(xué)中就是簡諧振動。一個(gè)勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端固結(jié)一個(gè)可以自由運(yùn)動的質(zhì)量為的物體，就構(gòu)成一個(gè)彈簧振子[1]。該振子是在一

2、個(gè)位置（即平衡位置）附近做往復(fù)運(yùn)動。在這種振動形式下，物體受力的大小總是和它偏離平衡位置的距離成正比，并且受力方向總是指向平衡位置。這種情況即為一維諧振子。一維諧振子在應(yīng)用上有很大價(jià)值,因?yàn)榻?jīng)典力學(xué)告訴我們只要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo),任意粒子體系的微小振動都可以認(rèn)為是一些相互獨(dú)立的振子的運(yùn)動的集合。普朗克在他的輻射理論中將輻射物質(zhì)的中心當(dāng)作一些諧振子,從而得到和實(shí)驗(yàn)相符合的結(jié)果。在分子光譜中,我們可以把分子的振動近似地當(dāng)作諧振子的波函數(shù)。另外在量子場論中電磁場的問題也能歸結(jié)成諧振子的形式。因此在量子力學(xué)中,諧振子問題的地位較經(jīng)典物理中來得重要。應(yīng)用線性諧振子模型可

3、以解決許多量子力學(xué)中的實(shí)際問題。本文將以一維諧振子為研究對象，首先分別討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中一維諧振子的運(yùn)動方程和能量特征，然后討論坐標(biāo)表象以及粒子數(shù)表象下的一維諧振子，最后分析經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子的區(qū)別與聯(lián)系并簡要討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的過渡問題。從而幫助我們更加深入的理解一維諧振子的物理實(shí)質(zhì)，充分認(rèn)識微觀粒子的波粒二象性。樂山師范學(xué)院級畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）2經(jīng)典力學(xué)中的一維諧振子在經(jīng)典力學(xué)中基本方程以牛頓定律為基礎(chǔ)，研究質(zhì)點(diǎn)位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，反映質(zhì)點(diǎn)特征的是運(yùn)動方程和能量。因此我們可以從運(yùn)動方程和能量這兩方面出發(fā)討論一維諧振子的運(yùn)動特征。

4、一個(gè)勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端固結(jié)一個(gè)可以自由運(yùn)動的質(zhì)量為的物體，就構(gòu)成一個(gè)彈簧振子[1]，如圖2.1。當(dāng)彈簧處于自然長度時(shí)，物體處于平衡位置，取作坐標(biāo)原點(diǎn)，以表示。沿彈簧長度方向（取作軸方向）拉動物體然后釋放，則物體將在點(diǎn)兩側(cè)作往復(fù)運(yùn)動。圖2.1彈簧振子2.1一維諧振子的運(yùn)動方程圖2.1中的物體可視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。設(shè)代表質(zhì)點(diǎn)相對于平衡位置的位移，則質(zhì)點(diǎn)所受的力，其中為勁度系數(shù)。負(fù)號表示與位移方向相反，因而總是指向平衡位置。由牛頓第二定律，諧振子的運(yùn)動微分方程為：即（2.1.1）這是一個(gè)二階的常系數(shù)線性微分方程。令（2.1.2）即簡諧運(yùn)動的角頻率，

5、由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)嗦決定。將（2.1.2）式代入（2.1.1）式，則可求出（2.1.1）式的通解：（2.1.3）這就是諧振子的運(yùn)動方程[2]。其中M和N是任意常數(shù)，由質(zhì)點(diǎn)的初位置和初速度確定。A是振幅，是初相位。（2.1.3）式表明質(zhì)點(diǎn)應(yīng)作簡諧振動[2]。樂山師范學(xué)院級畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）2.2一維諧振子的能量在諧振子問題中，振子的總能量可以反映出振子的運(yùn)動特征。因此我們可以從諧振子的動能和勢能出發(fā)，求解諧振子的總能量，進(jìn)而幫助我們分析振子的運(yùn)動特征。由（2.1.3）式可知，振子的速度為：振子的動能為：由（2.1.2）式，有：（2.2.1）由（2.2.1）式

6、可知，振子的動能變化頻率為。振子的勢能（以平衡位置的勢能為零）為：即為：（2.2.2）由（2.2.2）式可知，振子的勢能變化頻率也為。因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的總能量為：（2.2.3）由（2.2.3）式可知：諧振子的總能量不隨時(shí)間改變，即其機(jī)械能守恒[3]。（2.2.3）式還說明：對于一定的振子（和給定，因而給定），總能量與振幅的平方成正比[3]。振幅不僅給出了簡諧運(yùn)動的運(yùn)動范圍，而且還反映了振動系統(tǒng)總能量的大小，或者說反映了振動的強(qiáng)度。3量子力學(xué)中的一維諧振子在量子力學(xué)中，粒子狀態(tài)用波函數(shù)表示，為了描述微觀粒子狀態(tài)隨時(shí)間變化的

7、規(guī)律，就需要找出波函數(shù)所滿足的運(yùn)動方程，即薛定諤方程。因此下面將從諧樂山師范學(xué)院級畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）振子的哈密頓算符出發(fā)，求解振子的定態(tài)薛定諤方程，進(jìn)而分析量子力學(xué)中一維諧振子的運(yùn)動特征。3.1用運(yùn)動方程求解的一維諧振子我們可以從諧振子的勢能函數(shù)出發(fā)，寫出諧振子的哈密頓算符及薛定諤方程，并求諧振子的能量和定態(tài)波函數(shù)的解，進(jìn)而討論能量分布特點(diǎn)。取諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選原點(diǎn)為勢能的零點(diǎn)，則有。僅考慮一維情況。由于在軸方向分振動的諧振子在處的勢能可以表示為：（3.1.1）勢能曲線是一條定點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，如圖3.1所示：圖3.1一維諧振子的勢能一維諧振子

8、的經(jīng)典哈密頓函數(shù)為：設(shè)振子的原子質(zhì)量為，則振子的頻率為：振子的哈密