經典力學與量子力學中的一維諧振子

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1、樂山師范學院級畢業(yè)論文（設計）經典力學與量子力學中的一維諧振子物理與電子信息工程學院物理學[摘要]一維諧振動是一種最簡單的振動形式，許多復雜的運動都可分析為一維諧振動。本文以一維諧振子為研究對象，首先討論經典力學與量子力學中的一維諧振子的運動方程和能量特征，然后分析坐標表象以及粒子數表象下的一維諧振子，最后討論經典力學與量子力學中的一維諧振子的區(qū)別與聯系。[關鍵詞]諧振子經典力學量子力學運動方程能量分布1前言所謂諧振，在運動學中就是簡諧振動。一個勁度系數為的輕質彈簧的一端固定，另一端固結一個可以自由運動的質量為的物體，就構成一個彈簧振子[1]。該振子是在一個位置（即平衡位置）附近做往復

2、運動。在這種振動形式下，物體受力的大小總是和它偏離平衡位置的距離成正比，并且受力方向總是指向平衡位置。這種情況即為一維諧振子。一維諧振子在應用上有很大價值,因為經典力學告訴我們只要選擇適當的坐標,任意粒子體系的微小振動都可以認為是一些相互獨立的振子的運動的集合。普朗克在他的輻射理論中將輻射物質的中心當作一些諧振子,從而得到和實驗相符合的結果。在分子光譜中,我們可以把分子的振動近似地當作諧振子的波函數。另外在量子場論中電磁場的問題也能歸結成諧振子的形式。因此在量子力學中,諧振子問題的地位較經典物理中來得重要。應用線性諧振子模型可以解決許多量子力學中的實際問題。本文將以一維諧振子為研究對象

3、，首先分別討論經典力學與量子力學中一維諧振子的運動方程和能量特征，然后討論坐標表象以及粒子數表象下的一維諧振子，最后分析經典力學與量子力學中的一維諧振子的區(qū)別與聯系并簡要討論經典力學與量子力學的過渡問題。從而幫助我們更加深入的理解一維諧振子的物理實質，充分認識微觀粒子的波粒二象性。樂山師范學院級畢業(yè)論文（設計）2經典力學中的一維諧振子在經典力學中基本方程以牛頓定律為基礎，研究質點位移隨時間變化的規(guī)律，反映質點特征的是運動方程和能量。因此我們可以從運動方程和能量這兩方面出發(fā)討論一維諧振子的運動特征。一個勁度系數為的輕質彈簧的一端固定，另一端固結一個可以自由運動的質量為的物體，就構成一個彈

4、簧振子[1]，如圖2.1。當彈簧處于自然長度時，物體處于平衡位置，取作坐標原點，以表示。沿彈簧長度方向（取作軸方向）拉動物體然后釋放，則物體將在點兩側作往復運動。圖2.1彈簧振子2.1一維諧振子的運動方程圖2.1中的物體可視為一個質點。設代表質點相對于平衡位置的位移，則質點所受的力，其中為勁度系數。負號表示與位移方向相反，因而總是指向平衡位置。由牛頓第二定律，諧振子的運動微分方程為：即（2.1.1）這是一個二階的常系數線性微分方程。令（2.1.2）即簡諧運動的角頻率，由振動系統(tǒng)本身的性質嗦決定。將（2.1.2）式代入（2.1.1）式，則可求出（2.1.1）式的通解：（2.1.3）這就是

5、諧振子的運動方程[2]。其中M和N是任意常數，由質點的初位置和初速度確定。A是振幅，是初相位。（2.1.3）式表明質點應作簡諧振動[2]。樂山師范學院級畢業(yè)論文（設計）2.2一維諧振子的能量在諧振子問題中，振子的總能量可以反映出振子的運動特征。因此我們可以從諧振子的動能和勢能出發(fā)，求解諧振子的總能量，進而幫助我們分析振子的運動特征。由（2.1.3）式可知，振子的速度為：振子的動能為：由（2.1.2）式，有：（2.2.1）由（2.2.1）式可知，振子的動能變化頻率為。振子的勢能（以平衡位置的勢能為零）為：即為：（2.2.2）由（2.2.2）式可知，振子的勢能變化頻率也為。因此，由（2.2

6、.1）式和（2.2.3）式可得，振子的總能量為：（2.2.3）由（2.2.3）式可知：諧振子的總能量不隨時間改變，即其機械能守恒[3]。（2.2.3）式還說明：對于一定的振子（和給定，因而給定），總能量與振幅的平方成正比[3]。振幅不僅給出了簡諧運動的運動范圍，而且還反映了振動系統(tǒng)總能量的大小，或者說反映了振動的強度。3量子力學中的一維諧振子在量子力學中，粒子狀態(tài)用波函數表示，為了描述微觀粒子狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，就需要找出波函數所滿足的運動方程，即薛定諤方程。因此下面將從諧樂山師范學院級畢業(yè)論文（設計）振子的哈密頓算符出發(fā)，求解振子的定態(tài)薛定諤方程，進而分析量子力學中一維諧振子的運動

7、特征。3.1用運動方程求解的一維諧振子我們可以從諧振子的勢能函數出發(fā)，寫出諧振子的哈密頓算符及薛定諤方程，并求諧振子的能量和定態(tài)波函數的解，進而討論能量分布特點。取諧振子的平衡位置為坐標原點，并選原點為勢能的零點，則有。僅考慮一維情況。由于在軸方向分振動的諧振子在處的勢能可以表示為：（3.1.1）勢能曲線是一條定點在原點的拋物線，如圖3.1所示：圖3.1一維諧振子的勢能一維諧振子的經典哈密頓函數為：設振子的原子質量為，則振子的頻率為：振子的哈密