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1、合情推理與演繹推理 本周題目：合情推理與演繹推理 本周重點：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行簡單的推理. 本周難點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題. 本周內容： 一、合情推理 ?。保畾w納推理 ?。ǎ保┒x：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）. ?。ǎ玻┮话隳Ｊ剑骸 。ǎ常┮话悴襟E： ?、偻ㄟ^觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；
2、②從已知的相同的性質中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）； ?、蹤z驗猜想. 一般地，歸納的個別情況越多，就越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠.由于歸納推理的前提是部分的、個別的事實，因此歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，即歸納推理所得的結論可真可假. ?。玻惐韧评怼 。ǎ保┒x：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）. ?。ǎ玻┮话隳Ｊ剑禾厥馓厥狻 。ǎ常╊惐鹊脑瓌t：可以從不同的角度
3、選擇類比對象，但類比的原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇恰當?shù)念惐葘ο? ?。ǎ矗┮话悴襟E： ?、僬页鰞深悓ο笾g的相似性或一致性； ?、谟靡活悓ο蟮囊阎卣魅ネ茰y另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）； ③檢驗猜想. 一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質越相關，那么類比得出的命題就越可靠.類比結論具有或然性，即可真可假. 二、演繹推理 ?。ǎ保┒x：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理，叫做演繹推理. （２）一般模式：一般特殊. ?。?）“三段論”是演繹推理的一般模式，“
4、三段論”式推理常用的一種格式： ?、俅笄疤幔阎囊话阍?； ②小前提――所研究的特殊情況； ③結論－－根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的結論. （4）用集合的觀點理解“三段論” 若集合的所有元素都具有性質，是的子集，那么中所有元素都具有性質. 三、演繹推理與合情推理的比較 合情推理中的歸納、類比都是具有創(chuàng)造性的或然推理.不論是由大量的實例，經過分析、概括、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的歸納，還是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的類比，它們的共同點是，結論往往超出前提所控制的范圍，所以它們是“開拓型”或“發(fā)散型
5、”的思維方法.也正因為結論超出了前提的管轄范圍，前提也就無力保證結論必真，所以歸納類比都是或然性推理. 演繹推理所得的結論完全蘊含于前提之中，所以它是“封閉型”或“收斂型”的思維方法.只要前提真實，邏輯形式正確，結論必然是真實的. 總體來說，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的.合情推理的結論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的內容一般是通過合情推理獲得的.演繹推理可以驗證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路. 四
6、、例題選講 例1.用推理的形式表示數(shù)列的前項和的歸納過程. 分析：依題意，表示數(shù)列的前項和，即.為此，我們先根據(jù)該公式，算出數(shù)列的前幾項，進一步得出與的關系式. 解：對數(shù)列的前項和分別進行計算： ， ， ， ， . 觀察可得，數(shù)列{Sn}的前五項都等于1到相應序號的自然數(shù)之和的平方， 由此猜想數(shù)列的前項和. 評注：數(shù)列的通項公式揭示了項與項數(shù)的關系，為進一步歸納得出通項公式，可把項轉化成具有相同的結構形式，再將其分成變化的部分與不變化的部分，只需歸納變化的部分與項數(shù)的關系即可.通過歸納得到的關于
7、數(shù)列前項和的表達式，是歸納推理的一個具體表現(xiàn)，雖然猜想是否正確還有待嚴格的證明，但這個猜想可以為我們的研究提供一種方向. 例2．設，計算的值，同時歸納結果所具有的性質，并用驗證猜想的結論是否正確. 分析：首先分析題目的條件，并對的結果進行歸納推測，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同性質，猜想出一個明確的一般性命題. 解： ， ， . 由此猜想，為任何正整數(shù)時，都是質數(shù). 當時，，為合數(shù)，因此猜想的結論不正確. 評注：雖然由歸納推理所得到的結論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般，由具體
8、到抽象的認知功能，對于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的. 例3.證明：函數(shù)的值恒為正數(shù). 分析：由于本題不易分解因式，可結合解析式的特點選取0,1兩個值，將整個定義域分成三部分，討論證明. 證明： ①當時， 其各項均為正數(shù)， 時，. ②當時， ， 右邊代數(shù)式中三項均為正數(shù)， . ?、郛敃r， 其右邊代數(shù)式中三項均為正數(shù)， .
