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《量子力學(xué)導(dǎo)論答案》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第五章力學(xué)量隨時(shí)間的變化與對(duì)稱性5.1）設(shè)力學(xué)量不顯含，為本體系的Hamilton量，證明證.若力學(xué)量不顯含，則有,令則,5.2）設(shè)力學(xué)量不顯含，證明束縛定態(tài)，證：束縛定態(tài)為:：。在束縛定態(tài)，有。其復(fù)共軛為。。5.3）表示沿方向平移距離算符.證明下列形式波函數(shù)（Bloch波函數(shù)）,是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為證：,證畢。65.4）設(shè)表示的本征態(tài)（本征值為），證明是角動(dòng)量沿空間方向的分量的本征態(tài)。證：算符相當(dāng)于將體系繞軸轉(zhuǎn)角，算符相當(dāng)于將體系繞軸轉(zhuǎn)角，原為的本征態(tài)，本征值為，經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，固定于體系的坐標(biāo)系
2、（即隨體系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系）的軸（開始時(shí)和實(shí)驗(yàn)室軸重合）已轉(zhuǎn)到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的方向，即方向，變成了，即變成了的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性，不受坐標(biāo)變換的影響，故仍為。（還有解法二，參錢..《剖析》.P327）5.5）設(shè)Hamilton量。證明下列求和規(guī)則。是的一個(gè)分量，是對(duì)一切定態(tài)求和，是相應(yīng)于態(tài)的能量本征值，。證：（）又，。不難得出，對(duì)于分量，亦有同樣的結(jié)論，證畢。5.6）設(shè)為厄米算符，證明能量表象中求和規(guī)則為6（1）證：式（1）左端（2）計(jì)算中用到了公式。由于是厄米算符，有下列算符關(guān)系：（3）式（
3、2）取共軛，得到（4）結(jié)合式（2）和（4），得證畢。5.7）證明schr?dinger方程變換在Galileo變換下的不變性，即設(shè)慣性參照系的速度相對(duì)于慣性參照系運(yùn)動(dòng)（沿軸方向），空間任何一點(diǎn)兩個(gè)參照系中的坐標(biāo)滿足下列關(guān)系：。（1）勢(shì)能在兩個(gè)參照系中的表示式有下列關(guān)系（2）證明schr?dinger方程在參照系中表為在參照系中表為其中證：由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，和的意義完全相同。，是時(shí)刻在點(diǎn)找到粒子的幾率密度；，是時(shí)刻在點(diǎn)找到粒子的幾率密度。6但是在給定時(shí)刻，給定地點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)與參照系的選擇無關(guān)，所以
4、相應(yīng)的幾率應(yīng)相等，即（6）從（1）式有（6’）由此可以得出，和兩個(gè)波函數(shù)彼此只應(yīng)差絕對(duì)值為1的相因子，所以（7）（7）由（1）式，,,（3）式變?yōu)椋海?）將（7’）代入（8）式，可得（9）選擇適當(dāng)?shù)?，使得?）（4），。（10）（10’）從（10）可得。（11）是的任意函數(shù)，將（11）代入（10’），可得積分，得。為積分常數(shù)，但時(shí)，系和系重合，應(yīng)等于，即應(yīng)等于，故應(yīng)取，從而得到（12）代入（7’）式，最后得到波函數(shù)的變換規(guī)律：6（13）逆變換為（13’）相當(dāng)于式（13）中的，帶的量和不帶的量互換。討論：
5、的函數(shù)形式也可用下法求出：因和勢(shì)能無關(guān)，所以只需要比較平面波（自由粒子）在和系中的表現(xiàn)形式，即可確定.沿方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子，在伽利略變換下，動(dòng)量、能量的變換關(guān)系為（14）據(jù)此，系和系中相應(yīng)的平面波波函數(shù)為，（15）（1）、（14）代入（15），即得此即（13）式，由于這個(gè)變換關(guān)系僅取決于和系的相對(duì)速度，而與粒子的動(dòng)量無關(guān)，所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關(guān)系。66
