量子力學(xué)導(dǎo)論11章答案

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1、第十一章量子躍遷11—1)荷電的離子在平衡位置附近作小振動(dòng)(簡(jiǎn)諧振動(dòng))。受到光照射而發(fā)生躍遷。設(shè)照射光的能量密度為,波長(zhǎng)較長(zhǎng)。求:(a)躍遷選擇定則;(b)設(shè)離子原來(lái)處于基態(tài),求每秒躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。11—2)氫原子處于基態(tài)。收到脈沖電場(chǎng)的作用。使用微擾論計(jì)算它躍遷到各激發(fā)態(tài)的幾率以及仍然處于基態(tài)的幾率(取沿軸方向來(lái)計(jì)算)。解:令(6)初始條件(5)亦即(5)用式(6)代入式(4),但微擾項(xiàng)中取初值(這是微擾論的實(shí)質(zhì)性要點(diǎn)?。┘吹靡宰蟪松鲜絻啥瞬⑷臻g積分,得再對(duì)積分,由,即得(7)因此時(shí)(即脈沖電場(chǎng)作用后)電子已躍遷到態(tài)的幾率為[可直接

2、代入P291式(23)、P321式(15)而得下式](8)根據(jù)選擇定則,終態(tài)量子數(shù)必須是即電子只能躍遷到各態(tài),而且磁量子數(shù)。躍遷到各激發(fā)態(tài)的幾率總和為(9)其中(為奇宇稱(chēng))6(10)為Bohr半徑,代入式(9)即得(11)電場(chǎng)作用后電子仍留在基態(tài)的幾率為(12)11—3)考慮一個(gè)二能級(jí)體系,Hamilton量表為(能量表象),,設(shè)時(shí)刻體系處于基態(tài),后受微擾作用,,求時(shí)刻體系處于激發(fā)態(tài)的幾率。解:時(shí),體系,其矩陣表示(表象)為(1)設(shè)的本征函數(shù)為(2)代入本征方程(3)得到(4)上式存在非平庸解的條件為由此解出(5)令,,(6)6式(5)可以寫(xiě)成

3、(5’)當(dāng),由式(4)求得取,即得相應(yīng)的能量本征函數(shù)(未歸一化)為(7)當(dāng),類(lèi)似可求得(8)時(shí),體系的初始狀態(tài)為(9)其中(10)因此時(shí)波函數(shù)為(11)以式(5’)、(7)、(8)代入上式,即得(12)體系處于態(tài)的幾率為(13)11—4)自旋為的粒子,磁矩為,處于沿軸方向的常磁場(chǎng)中,初始時(shí)刻粒子自旋向下。后來(lái)加上沿軸方向的常磁場(chǎng)。求時(shí)刻粒子測(cè)得自旋向上的幾率。(磁矩算符,與外磁場(chǎng)的的作用)解:粒子的磁矩算符可表示成(1)為泡利算符,磁場(chǎng)對(duì)粒子的作用勢(shì)為(2)6在表象中,的矩陣表示為(2’)以下求的本征值和本征函數(shù),設(shè)本征函數(shù)為(3)本征方程為,

4、則(4)能級(jí)方程為(5)令,,(6)由式(5)容易解出(7)將之值代回式(4),即可求出如下本征函數(shù):(8)注意,這兩個(gè)本征函數(shù)并未歸一化。將時(shí)的初始波函數(shù)按能量本征函數(shù)展開(kāi),(9)因此,時(shí)波函數(shù)(10)注意滿足歸一化條件在時(shí)刻,測(cè)得粒子自旋“向上”的幾率為6(11)本題可以視為11—3)題的一個(gè)實(shí)例。66

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