以相似為載體的課本習(xí)題的變式探究

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1、以相似為載體的課本習(xí)題的變式探究?解題研究?中'擻?7(2011年第9期?初中版)33相為載體的課本習(xí)題的變式探究733000甘肅武威市十三中學(xué)宋盛華人教九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)題27第13題是一道應(yīng)用"相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比"進(jìn)行求解的幾何問(wèn)題.由相似為載體生成的中考題和競(jìng)賽題近幾年來(lái)頻頻出現(xiàn),下面就這道習(xí)題的一般變式作系列探究.1原題再現(xiàn)如圖1,AABC是一塊銳角三角形材料,邊BC=120mm,高AD=80ram,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上,這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少?lFBGDHC圖

2、1分析如圖1,EFGH為正方形,則肼∥BC,AK上EF.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,AAEF的高可寫(xiě)成AK=AD—KD=AD—EF=80一.由△A一△ABc,=EF.80-x=南.解得=48.即正方形零件的邊長(zhǎng)是48ram.點(diǎn)評(píng)在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解題時(shí),大家比較熟悉的性質(zhì)是對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,而相似三角形中"對(duì)應(yīng)高的比等于相似比"則不太熟悉.但在解決相似三角形的面積問(wèn)題或內(nèi)接四邊形問(wèn)題時(shí),我們一定要已知:如圖4,若點(diǎn)0是四邊形ABCD內(nèi)切圓的圓心,切點(diǎn)分別為E,F,G,H,肌與C,E相交于點(diǎn)P.求證:對(duì)角線AC,BD必經(jīng)過(guò)點(diǎn)分析由蒙日(根心)定

3、以理可知:三個(gè)圓兩兩相交,它圖4們的公共弦所在直線平行或交于一點(diǎn).本題中過(guò)D,日,F三點(diǎn)的圓,過(guò)G,F,N三點(diǎn)的圓和6)0的三條公共弦GE,HF,DN一定交于一點(diǎn)P,只要證明點(diǎn)曰在直線DN上即可.證明作過(guò)D,日,F三點(diǎn)的圓交AB于.s,作過(guò)D,G,E三點(diǎn)的圓交BC的延長(zhǎng)線于因?yàn)镈C,AB與00相切于點(diǎn)G,E,由弦切角的知識(shí)可知/CGE=/BEG,再由圓內(nèi)接四邊形的知識(shí)可知:DG=SE.同理可證:DH=F又因?yàn)锳D,CD與QO相切于點(diǎn)H,G所以DH=DG從而F=DH=DG=SE因?yàn)锳B,CB與00相切于點(diǎn)E,F所以BE=BF于是BE?BS=BF

4、?BT因?yàn)?在平面上任給兩不同心的圓,則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線".所以點(diǎn)B必在直線DN上,即對(duì)角線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)P同理可證對(duì)角線AC也必經(jīng)過(guò)點(diǎn)P所以對(duì)角線AC,BD必經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.對(duì)于文章開(kāi)篇提出的猜想,經(jīng)過(guò)近一年斷斷續(xù)續(xù)的思索,仍沒(méi)有找到簡(jiǎn)潔的證明思路,于是把這個(gè)猜想發(fā)到網(wǎng)上征解."踏破鐵鞋無(wú)覓處,得來(lái)全不費(fèi)工夫",在"百度"中搜索,無(wú)意發(fā)現(xiàn)網(wǎng)頁(yè)(http://www.aoshoo.corn/bbsl/dispbbs,asp?boardid=43&Id=16398&—star—=1)中的"莊夢(mèng)蝶"給出了該問(wèn)題的證明過(guò)程,

5、但其過(guò)程比較復(fù)雜,期待讀者簡(jiǎn)潔的證明方法,但畢竟得到了圓外切四邊形的一條漂亮而簡(jiǎn)潔的性質(zhì).性質(zhì)5被圓外切四邊形對(duì)角線分成的四個(gè)三角形的內(nèi)心連線共圓.其數(shù)學(xué)語(yǔ)言為:如圖5,o0的外切四邊形的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)P,若,】,C,2,,],,4分另U為APAD,JAPCD,APBC,APAB的內(nèi)心,則,l,,2,厶,,4四點(diǎn)共圓.本想登至山頂以一覽山下之美景,沒(méi)想在登山的途中也能對(duì)美景一飽眼福,山頂雖未登上,但美景一樣盡收眼底.真是"有心栽花花不開(kāi),無(wú)意插柳柳成陰."(收稿日期:20110618)34中.?擻,7(2011年第9期?初中版)?解

6、題研究.注意用好相似三角形中的對(duì)應(yīng)高.2變式探究變式1內(nèi)接矩形面積的最值問(wèn)題探究例1有一塊三角形土地,它的底邊BC=100米,高AH=100米.某單位要修建一座底面是矩形DEFG的大樓,當(dāng)這座大樓的地基面積最大時(shí),這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各是多少?分析如圖2,四邊形EF-GD為矩形,則GD∥BC,AK上GD,設(shè)GF=,則AK=A日一GF:100一.由AADG~AABC,BEHFC圖2A—K日n=一AH—BC'"100—100'DG=100一.S口邊形D￡,G=(100一x)x:一(一50)+2500=50時(shí),S日邊形肼G最大,此時(shí)DG=100一=50

7、,即矩形長(zhǎng)寬均為50米時(shí)地基面積最大.點(diǎn)評(píng)三角形形內(nèi)接矩形的面積與矩形的長(zhǎng)寬有關(guān).借助相似三角形中邊與高的關(guān)系,將矩形的長(zhǎng)與寬聯(lián)系起來(lái),找出長(zhǎng)與寬之間的數(shù)量關(guān)系,將面積表示成長(zhǎng)或?qū)挼亩魏瘮?shù)式,進(jìn)而可得到面積最大的限制條件.變式2一般到特殊的探究例3(2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖3,面積為n一c的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC,其中o,b,c為整數(shù),且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除,則的值等于0BEHFC圖3分析設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為m.作AH_I_BC交DG于K正三角形ABc中,A日:m,~AK=A日

8、:…由Js.1.Tm…l,m2=.由△ADG△,=器,_=■m—即旦:一,'t_'5m:(2√3—3)m,=(2一3)m=28一48,即o√—c=28,/Y一48,