高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§8 1向量及其線性運(yùn)算

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1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料：http://y66.80.hkqq：745924769tel：15327376117§8.1向量及其線性運(yùn)算授課次序48教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題§8.1向量及其線性運(yùn)算教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)向量及其線性運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)向量的運(yùn)算及其幾何意義參考教材同濟(jì)大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)（第6版）》自編教材《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程》作業(yè)布置《高等數(shù)學(xué)》標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語教學(xué)坐標(biāo)軸：axisofcoordinates；橫坐標(biāo)：abscissa；縱坐標(biāo)：ordinate；銳角：acuteangle；鈍角：obtuseangle；平角：straightangle；直角：rightan

2、gle課堂教學(xué)目標(biāo)1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。2．掌握向量的運(yùn)算。教學(xué)過程1．向量（25min），；2．空間直角坐標(biāo)系（20min）；3．向量的運(yùn)算（45min）教學(xué)基本內(nèi)容第八章向量代數(shù)與空間解析幾何§8.1向量及其線性運(yùn)算一、向量概念向量:在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí),常會(huì)遇到這樣一類量,它們既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,這一類量叫做向量.在數(shù)學(xué)上,用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的符號(hào):以A為起點(diǎn)B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作.向量可用粗體字母表

3、示,也可用上加箭頭書寫體字母表示,如,a、r、v、F或、、、.自由向量:由于一切向量的共性是它們都有大小和方向,所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量,并稱這種向量為自由向量,簡(jiǎn)稱向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,則說向量a和b是相等的,記為a=b.相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合.向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、、的模分別記為

4、a

5、、、.單位向量:模等于1的向量叫做單位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,記作0或.零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與b平行,記作a

6、//b.零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上.因此,兩向量平行又稱兩向量共線.類似還有共面的概念.設(shè)有k(k33)個(gè)向量,當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上,就稱這k個(gè)向量共面.備注欄§8.1向量及其線性運(yùn)算第7頁共7頁六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料：http://y66.80.hkqq：745924769tel：15327376117二、向量的線性運(yùn)算1．向量的加法向量的加法:設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合,此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+

7、b.三角形法則:上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則.平行四邊形法則:當(dāng)向量a與b不平行時(shí),平移向量使a與b的起點(diǎn)重合,以a、b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b.ABCABCD向量的加法的運(yùn)算規(guī)律:(1)交換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律,故n個(gè)向量a1,a2,×××,an(n33)相加可寫成a1+a2+×××+an,并按向量相加的三角形法則,可得n個(gè)向量相加的法則如下:使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn),相繼作向量a1,a2,×××,an,再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),最后一向

8、量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量,這個(gè)向量即為所求的和.負(fù)向量:設(shè)a為一向量,與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量,記為-a.向量的減法:我們規(guī)定兩個(gè)向量b與a的差為b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上,便得b與a的差b-a.特別地,當(dāng)b=a時(shí),有a-a=a+(-a)=0.---顯然,任給向量及點(diǎn)O,有,因此,若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O,則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差b-a.三角不等式:由三角形兩邊之和大于第三邊的原理,有

9、a+b

10、￡

11、a

12、+

13、b

14、及

15、a-b

16、￡

17、a

18、+

19、b

20、,其中等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立.2．向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法的定義:向量a

21、與實(shí)數(shù)l的乘積記作la,規(guī)定la是一個(gè)向量,它的模

22、la

23、=

24、l

25、

26、a

27、,它的方向當(dāng)l>0時(shí)與a相同,當(dāng)l<0時(shí)與a相反.當(dāng)l=0時(shí),

28、la

29、=0,即la為零向量,這時(shí)它的方向可以是任意的.特別地,當(dāng)l=±1時(shí),有1a=a,(-1)a=-a.運(yùn)算規(guī)律:(1)結(jié)合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律(l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.ABCDM例1.在平行四邊形ABCD中,設(shè)=a,=b.試用a和b表示向量、、、,其中