高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§81向量及其線性運(yùn)算

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1、§8.1向量及其線性運(yùn)算授課次序塑教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題§8.1向量及其線性運(yùn)算教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)向量及其線性運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)向量的運(yùn)算及其幾何意義參考教材同濟(jì)大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)(第6版)》自編教材《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程》作業(yè)布置《高等數(shù)學(xué)》標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語教學(xué)坐標(biāo)軸：axisofcoordinates；橫坐標(biāo)：abscissa；縱坐標(biāo)：ordinate；銳角:acuteangle；鈍角:obtuseangle；平角:straightangle；直角:rightangle課堂教學(xué)目標(biāo)1.理解空間直角坐標(biāo)系，理

2、解向量的概念及其表示。2.掌握向量的運(yùn)算。教學(xué)過程1.向量(25min),；2.空間直角坐標(biāo)系(20min)；3.向量的運(yùn)算(45min)教學(xué)基本內(nèi)容第八章向量代數(shù)與空間解析幾何§8.1向量及其線性運(yùn)算一、向量概念向量：在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí)，常會遇到這樣一類量，它們既有大小，又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等，這一類量叫做向量.在數(shù)學(xué)上，用一?條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.向量的符號：以4為起點(diǎn)B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向

3、量記作心.向量可用粗體字母表示，也可用上加箭頭書寫體字母表示，如,°、/?、八F或2、7、v>F.自由向量：由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所以在數(shù)學(xué)上我們只研允與起點(diǎn)無關(guān)的向量，并稱這種向量為自由向量，簡稱向量.因此，如果向量a和〃的人小相等，且方向相同，則說向量a和方是相等的，記為a=b.相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合.向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量a、方、朋的模分別記為⑷、

4、靳、

5、歷單位向量：模等于1的向量叫做單位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量，記作0或3?零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方

6、向可以看作是任意的.向量的平行：兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反，就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與方平行，記作a//b,零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上.因此，兩向量平行又稱兩向量共線.類似還有共面的概念.設(shè)有k(k>3)個(gè)向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，如果R個(gè)終點(diǎn)和公備注欄共起點(diǎn)在一個(gè)平面上，就稱這k個(gè)向量共面.二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法向量的加法：設(shè)有兩個(gè)向量a與伏平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合，此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a

7、與方的和，記作a+h,即c=a^-b.三角形法則：上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則.平行四邊形法則：當(dāng)向量a與方不平行時(shí)，平移向量使“與方的起點(diǎn)重合，以a、方為鄰邊作一平行四邊形，從公共起點(diǎn)到對角的向量等于向量a與〃的和a+b.向量的加法的運(yùn)算規(guī)律：⑴交換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+〃)+c=a+@+c).由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律，故n個(gè)向量Qi,a2,…,an(n?3)相加可寫成血+血+…+為，并按向量相加的三角形法則，可得巾個(gè)向量相加的法則如下：使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn)，相

8、繼作向量a】,a2,…,a”，再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量，這個(gè)向量即為所求的和.負(fù)向量：設(shè)a為一向量，與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量，記為-么向量的減法：我們規(guī)定兩個(gè)向量〃與a的差為b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量〃上，便得〃與a的差〃-a.特別地,當(dāng)b=a時(shí),有顯然，任給向量A3及點(diǎn)O,有AB=AO-^OB=OB-Q,因此，若把向量a與方移到同一起點(diǎn)0,則從a的終點(diǎn)A向方的終點(diǎn)B所引向量怎便是向量方與a的差b-a.三角不等式：由三角形兩邊之和大于第三邊的原理，有匕

9、+川5

10、a

11、+0

12、及

13、°-創(chuàng)5測+

14、虬其中等號在〃與a同向或反向時(shí)成立.1.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法的定義：向量a與實(shí)數(shù)入的乘積記作加，規(guī)定加是一個(gè)向量，它的模

15、加

16、=

17、刀14,它的方向當(dāng)尤＞0時(shí)與a相同,當(dāng)衣0時(shí)與a相反.當(dāng)為0時(shí)加

18、=0,即加為零向量，這時(shí)它的方向可以是任意的.特別地，當(dāng)2=±1時(shí)，有1ez,(-l)a=-a.運(yùn)算規(guī)律：(1)結(jié)合律/l(“a)=〃(/izz)=(/l“)a；⑵分配律(幾+“)4=加+/血；zl(a+方)=加+肋.例1.在平行四邊形ABCD中，設(shè)77=a,~AD=b.試用a和〃表

19、示向量亦、前、疋、肪，其屮M是平行四邊形對角線的交點(diǎn).°C解由于平行四邊形的對角線互相平分，所以力?+/>=^4C=2AM,即_(M)=2胡，于是MA=-

20、(?+/>).因?yàn)樾?一亦，所以MC=^(a+b).厶厶又因-a+b=BD=2MD,所以猛=吉(—由于=所以MB=(a-b).厶厶例1在平行四邊形ABCD中，設(shè)AB=a,AD=