二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用一學(xué)案

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1、二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)九年級(jí)適用區(qū)域廣東省課時(shí)時(shí)長(分鐘)60知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的基本概念及性質(zhì),函數(shù)的最值,函數(shù)的開口及單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)理解二次函數(shù)的基本性質(zhì),及函數(shù)解析式的基本求法學(xué)習(xí)重點(diǎn)二次函數(shù)的最值及圖像學(xué)習(xí)難點(diǎn)二次函數(shù)的最值及圖像30學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1.定義:一般地,如果是常數(shù),,那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)用配方法可化成:的形式,其中.3.拋物線的三要素:開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).①的符號(hào)決定拋物線的開口方向:當(dāng)時(shí),開口向上;當(dāng)時(shí),開口向下;相等,拋物線的開口大小、形狀相同.②

2、平行于軸(或重合)的直線記作.特別地,軸記作直線.4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.5.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法30(1)公式法:,∴頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線.(2)配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點(diǎn)為(,),對(duì)稱軸是直線.(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性:由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)

3、行驗(yàn)證,才能做到萬無一失.6.拋物線中,的作用(1)決定開口方向及開口大小,這與中的完全一樣.(2)和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線,故:①時(shí),對(duì)稱軸為軸;②(即、同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸左側(cè);③(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí),,∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,):①,拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②30,與軸交于正半軸;③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè),則.7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式:.已知圖

4、像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值,通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式:.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.(3)交點(diǎn)式:已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、,通常選用交點(diǎn)式:.8.直線與拋物線的交點(diǎn)(1)軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,).(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).(3)拋物線與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、,是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:30①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交;②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切;③沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.(4

5、)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn),由方程組的解的數(shù)目來確定:①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn);③方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線與軸兩交點(diǎn)為,由于、是方程的兩個(gè)根,故3030二、知識(shí)講解考點(diǎn)1:確定a、b、c的值.二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),且a≠0)a>0開口向

6、上,a<0開口向下.拋物線的對(duì)稱軸為x=,由圖像確定的正負(fù),由a的符號(hào)確定出b的符號(hào).由x=0時(shí),y=c,知c的符號(hào)取決于圖像與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo),與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸時(shí),c>0,與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸時(shí),c<0.確定了a、b、c的符號(hào),易確定abc的符號(hào).30考點(diǎn)2:確定a+b+c的符號(hào)當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c,由圖像y的值確定a+b+c的符號(hào).與之類似的還經(jīng)常出現(xiàn)判斷4a+2b+c的符號(hào)(易知x=2時(shí),y=4a+2b+c),由圖像y的值確定4a+2b+c的符號(hào).還有判斷a-b+c的符號(hào)(x=-1時(shí),y=a

7、-b+c)等等.30考點(diǎn)3:與拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)的一些值的符號(hào).拋物線的對(duì)稱軸為x=,根據(jù)對(duì)稱性知:取到對(duì)稱軸距離相等的兩個(gè)不同的x值時(shí),y值相等,即當(dāng)x=+m或x=-m時(shí),y值相等.中考考查時(shí),通常知道x=+m時(shí)y值的符號(hào),讓確定出x=-m時(shí)y值的符號(hào).30考點(diǎn)4:頂點(diǎn)與最值若x可以取全體實(shí)數(shù),開口向下時(shí),y在頂點(diǎn)處取得最大值,開口向上時(shí),y在頂點(diǎn)處取得最小值.30考點(diǎn)5:圖象與x軸交點(diǎn).∵b2-4ac>0,ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根;b2-4ac<0,ax2+bx+c=0無實(shí)根;b2-4ac=0,a

8、x2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根.∴b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);b2-4ac<0,拋物線與x軸沒有交點(diǎn);b2-4ac=0,拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).30考點(diǎn)6:能分別判斷出在對(duì)稱軸的左右兩側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的變化而變化情況拋物線當(dāng)開口向上時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小,在對(duì)稱軸的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而增大.拋物線開

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