考研數(shù)學(xué)歷年真題詳解

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1、第一章行列式1．（95，九題，6分）設(shè)A是n階矩陣，滿足（E是n階單位陣，是A的轉(zhuǎn)置矩陣，

2、A

3、<0，求

4、A+E

5、?！痉治觥坑删仃嚨仁角蟪橄缶仃嘇+E的行列式，聯(lián)想到利用此等式條件，則有兩種方法：①將直接代入要計(jì)算的行列式中。②“湊”出可利用已知矩陣等式中左端的形式，再將代入計(jì)算。像這種矩陣運(yùn)算與行列式計(jì)算結(jié)合考查的題型，應(yīng)注意.【詳解】根據(jù)有2．（96，選（5）題，3分）四階行列式的值等于??????(A)(B)?????(C)???????(D)【】【答】應(yīng)選（D）【分析】本題是根據(jù)行列式展開定理按照第一行展開計(jì)算求解的，也可以按照拉普拉斯展開

6、定理進(jìn)行計(jì)算分析，解答本題有一定的技巧性【詳解】按第一行展開，原式＝故正確選項(xiàng)為（D）3．（99，選（4）題，3分）設(shè)A是矩陣，B是矩陣，則???（A）當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式

7、.（B）當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式

8、.???（C）當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式

9、.（D）當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式

10、.【】【答】應(yīng)選（B）【分析】四個選項(xiàng)在于區(qū)分行列式是否為零，而行列式是否為零又是矩陣是否可逆的充要條件，而矩陣是否可逆又與矩陣是否滿秩相聯(lián)系，所以最終只要判斷AB是否滿秩即可。本題未知AB的具體元素，因此不方便直接應(yīng)用行列式的有關(guān)計(jì)算方法進(jìn)行求解?！驹斀狻恳?yàn)锳B為m階方陣

11、，且當(dāng)m>n時(shí)，由上式可知，，即AB不是滿秩的，故有行列式

12、AB

13、=0,因此正確選項(xiàng)為（B）4．（04，填（5）題，4分）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則

14、B

15、=【分析】可先用公式進(jìn)行簡化【詳解】已知等式兩邊同時(shí)右乘A，得，而

16、A

17、=3,于是有3AB＝6B＋A，即(3A－6E)B=A，再兩邊取行列式有：

18、3A-6E

19、

20、B

21、=

22、A

23、=3，而

24、3A-6E

25、=27,故所求行列式為

26、B

27、=5．（05，填（5）題，4分）設(shè)均為3維列向量，記矩陣??????A=()，B＝()如果

28、A

29、=1，那么

30、B

31、=【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的

32、形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻繉仃嘊用分塊技巧，有兩邊取行列式，并用行列式乘法公式，得所以

33、B

34、=2.6．（06，（5）題，4分）設(shè)矩陣，E為單位矩陣，矩陣B滿足BA＝B＋2E，則

35、B

36、=【分析】本題為計(jì)算方陣行列式，應(yīng)利用矩陣運(yùn)算與行列式的關(guān)系來求解【詳解】由BA＝B＋2E得??????????????????????????????????????????????BA-B=2EB(A-E)=2E

37、B(A-E)

38、=

39、2E

40、

41、B

42、

43、A-E

44、=4

45、B

46、=4

47、A-E

48、-1=第二章矩陣一、矩陣運(yùn)算1．（97，填（4）題，3分）設(shè)，

49、B為三階非零矩陣，且AB＝0，則t＝【分析】由AB＝0也可推知r(A)+r(B)3，而r(B)>0。于是r(A)2,故有

50、A

51、=0t=-3.【詳解】由于B為三階非零矩陣，且AB=0,可見線性方程組Ax＝0存在非零解，故???二、伴隨矩陣1．（05，12題，4分）設(shè)A為n()階可逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣B，，分別為A，B的伴隨矩陣，則（A）交換的第1列與第2列得（B）交換的第1行與第2行得（C）交換的第1列與第2列得（D）交換的第1行與第2行得【】【答】應(yīng)選（C）【分析】本題考查初等變換得概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的

52、關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)盡心分析即可【詳解】為書寫簡捷，不妨考查A為3階矩陣，因?yàn)锳作初等行變換得到B，所以用初等矩陣左乘A得到B，按已知有于是從而又因

53、A

54、=-

55、B

56、，故，所以應(yīng)選（C）三、可逆矩陣1．（96，八題，6分）設(shè)，其中E是n階單位矩陣，是n維非零列向量，是的轉(zhuǎn)置，證明：（1）的充要條件是（2）當(dāng)時(shí)，A是不可逆矩陣【分析】本題考查矩陣乘法的分配律、結(jié)合律。題中是n維列向量，則是n階矩陣且秩為1。而是一個數(shù)【詳解】（1）因此因?yàn)?，所以故的充要條件為（2）方法一：當(dāng)時(shí)，由，有，因?yàn)楣视蟹橇憬?，因?/p>

57、A

58、=0,說明A不可逆方法二：當(dāng)，由，即E－

59、A的每一列均為的解，因?yàn)檎f明有非零解，故秩(A)

60、到第三行，再交換第一、二行兩次初等變換得到的，故有【詳解】是交換單位矩陣的第一、二行所得初等矩陣，是將單位矩陣的第一行加到