管道包扎問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

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1、第二期（2003年8月）韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集No.2管道包扎問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型潘龍飛[摘要]:本論文討論管道的包扎問(wèn)題.此問(wèn)題是一個(gè)三維空間問(wèn)題,我們采用剪切的方法把空間問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題,建立剛好全部包扎所用帶子最短模型和管道包扎出現(xiàn)接縫處重疊模型,然后利用數(shù)學(xué)軟件Matlab求解。在圖1中，求得最短帶子包扎的通用表達(dá)式,并代入題目給出的數(shù)據(jù)得到第一個(gè)問(wèn)題的最短長(zhǎng)度為50.4米。在圖2和圖3中，采用近似的處理方法求出管道包扎接縫處重疊帶子寬度的表達(dá)式,代入第二個(gè)問(wèn)題的數(shù)據(jù),得到帶子的重疊寬度為

2、0.004米。論文的最后對(duì)臨界角和截面是正多邊形的管道的情況作進(jìn)一步的討論,并得到更一般的模型。關(guān)鍵詞:臨界角；臨界點(diǎn)；臨界長(zhǎng)度；等量關(guān)系1問(wèn)題的提出用寬度為0.3m的帶子纏繞包扎圓柱型管道，管道長(zhǎng)30m，截面周長(zhǎng)為0.5m.(1)如果用帶子全部包住管道，最少要用多長(zhǎng)的帶子，請(qǐng)你給出計(jì)算這個(gè)最小長(zhǎng)度的公式，并且依次計(jì)算出所需長(zhǎng)度數(shù)值.(2)現(xiàn)有一條長(zhǎng)度為51m的帶子，想將這條帶子全部用于纏繞包扎這個(gè)管道，可以使帶子的接縫處重疊瘩接.請(qǐng)你給出用這條帶子纏繞包扎這個(gè)管道的方案.（計(jì)算結(jié)果精確到0.0

3、01m）(3)如果管道截面是正三邊形,正四邊形,或邊數(shù)更多的正多邊形.2問(wèn)題的分析生活的經(jīng)驗(yàn)告訴我們,在包扎圓形管道的過(guò)程中,如果開(kāi)始包扎時(shí)帶子邊緣所在的直線與管道母線的夾角過(guò)小,就可能出現(xiàn)不能把管道全部包扎的現(xiàn)象;如果夾角過(guò)大,就可能出現(xiàn)包扎帶子在接縫處重疊的現(xiàn)象.所以,隨著夾角的增大,總會(huì)出現(xiàn)在接縫處剛好接合而沒(méi)有重疊的情況.這種特殊的情況就是第一問(wèn)的求解問(wèn)題,稱此時(shí)包扎帶子的長(zhǎng)度為臨界長(zhǎng)度,帶子邊緣所在的直線與管道母線的夾角為臨界角,管道任一端的帶子截口所在邊與管道截面的交點(diǎn)稱為臨界點(diǎn).如

4、果給定一段帶子的長(zhǎng)度大于臨界長(zhǎng)度,則總能找到一種包扎方案,使得整條帶子全都包扎完,其中接縫處有重疊.當(dāng)管道的截面為正多邊形時(shí),我們把正多邊形的直棱柱管道看作圓形管道的變形來(lái)處理,即正多邊形的直棱柱管道的平面展開(kāi)圖與圓形管道的平面展開(kāi)圖是同樣的.3模型的假設(shè)3.1管道沒(méi)有厚度(即把管道剪開(kāi)圖看成平面,不考慮空間結(jié)構(gòu))；3.2管道是剛性物體,帶子也不具備彈性；3.3管道截面是圓形,整條管道粗細(xì)均勻，帶子的寬度也不變；3.4包扎過(guò)程中帶子不能切斷；3.5帶子兩端截口垂直于它的邊：4符號(hào)的約定a----

5、-帶子的寬度；b-----管道的長(zhǎng)度；c-----管道截面的周長(zhǎng)；-----帶子的長(zhǎng)度；43第二期（2003年8月）韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集No.2θ---帶子截口所在的直線與管道母線的夾角；-----直角三角形AED的面積；-----直角三角形OBF的面積；S----四邊形COHG的面積；x----帶子重疊部分的寬度；---重疊部分的帶子長(zhǎng)度；m----截面正多邊形的邊長(zhǎng)；n----截面正多邊形的邊數(shù).5模型的建立和求解5.1剛好全部包扎所用帶子最短模型經(jīng)過(guò)臨界點(diǎn),沿著管道的母線切開(kāi)得到截面

6、,如下圖1:圖1其中矩形ABCD為管道的側(cè)面展開(kāi)圖,三角形AED為直角三角形.定理1直角三角形AED的面積等于直角三角形OBF和四邊形OHGC之和.證明線段BF和線段CG在空間圖形中是重合的,故這兩線段相等.把直角三角形OBF向右移動(dòng),使BF與CG重合,則構(gòu)成直角三角形OHO.又ED=OHOB+OC=AD故,即定理成立.推論1沿著管道任一母線剪開(kāi)得到的平面展開(kāi)圖中,管道截面界線的兩端分別能組成兩個(gè)直角三角形,且這兩個(gè)直角三角形的面積相等.由上面的定理1和推論可以得出剛好包扎管道所用帶子最短的模型

7、:43第二期（2003年8月）韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集No.2求得一般表達(dá)式為:把題目中給出的數(shù)據(jù)代入一般表達(dá)式求得第一問(wèn)題的臨界長(zhǎng)度為:=50.4(米)5.2管道包扎出現(xiàn)接縫處重疊的模型按圖1的剪開(kāi)方法,得到管道平面展開(kāi)圖,如圖2:圖2其中陰影為帶子重疊部分.命題1在帶子寬度不變的條件下,帶子相接處重疊的寬度一定相等(即圖2中陰影部分的平行四邊形的寬度不改變).5.2.1求陰影部分的帶子的長(zhǎng)度.命題2陰影部分的長(zhǎng)度比整條包扎帶子的長(zhǎng)度短線段AE的長(zhǎng)度.證明由推論2,陰影部分的寬度相等,故可以

8、過(guò)圖2的A點(diǎn),垂直AE剪切,再把剪切的左邊部分圖形補(bǔ)到右邊,如下圖3:圖343第二期（2003年8月）韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集No.2由圖3可以看出,5.2.2利用陰影部分的面積相等得到模型:化簡(jiǎn)此方程組得:(1)利用Matlab解方程(1)得到的結(jié)果過(guò)繁,所以為了得到一個(gè)比較簡(jiǎn)單而又接近實(shí)際的答案,我們作以下處理:在生活和工作中,為了節(jié)省材料,包扎管道的帶子一般不會(huì)比臨界長(zhǎng)度長(zhǎng)太多,所以可用近似代替,求得結(jié)果為:(2)把第二問(wèn)題的數(shù)據(jù)代入方程(1)得:x=0.00357把第二問(wèn)題的數(shù)據(jù)代入方