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《畢業(yè)論文：管道包扎問題的數(shù)學(xué)模型論文》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、管道包扎問題的數(shù)學(xué)模型論文管道包扎問題的數(shù)學(xué)模型摘要：本篇論文討論管道的包扎問題?是一個三維空間的問題我采用剪切的方法把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題建立剛好全部包扎所用帶子最短模型和管道包扎出現(xiàn)接縫處重疊模型然后利用數(shù)學(xué)軟件Matlab求解.在圖1中，求得最短帶子包扎的通用表達式并代入題目給出的數(shù)據(jù)得到第一個問題的最短長度為50.4米在圖2和圖3屮，采用近似的處理方法求出管道包扎接縫處重疊帶子寬度的表達式代入第二個問題的數(shù)據(jù)得到帶子的重疊寬度為0.004米.論文的最后對臨界角0和截面是正多邊形的管道的情
2、況作進一步的討論并得到更一般的模型?關(guān)鍵詞：臨界角臨界點臨界長度等量關(guān)系1問題的提出用寬度為0.3m的帶子纏繞包扎圓柱型管道，管道長30m,截面周長為0.5m.1如果用帶子全部包住管道，最少要用多長的帶子，請你給出計算這個最小長度的公式，并且依次計算出所需長度數(shù)值.2現(xiàn)有一條長度為51m的帶子，想將這條帶子全部用于纏繞包扎這個管道，可以使帶子的接縫處重疊瘩接.請你給出用這條帶子纏繞包扎這個管道的方案?（計算結(jié)果精確到0.001m）3如果管道截面是正三邊形正四邊形或邊數(shù)更多的正多邊形.2問題的分析生
3、活的經(jīng)驗告訴我們在包扎圓形管道的過程中如果開始包扎時帶子邊緣所在的直線與管道母線的夾角過小就可能出現(xiàn)不能把管道全部包扎的現(xiàn)象如果夾角過大就可能出現(xiàn)包扎帶子在接縫處重疊的現(xiàn)象.所以隨著夾角的增大總會出現(xiàn)在接縫處恰好接合而沒有重疊的情況?這種特殊的情況就是第一問的求解問題稱此時包扎帶了的長度為臨界長度帶了邊緣所在的直線與管道母線的夾角為臨界角管道任一端的帶子截口所在邊與管道截面的交點稱為臨界點?如果給定一段帶子的長度大丁臨界長度則總能找到一種包扎方案使得整條帶子全都包扎完其中接縫處有重疊.當(dāng)管道的截面
4、為止多邊形時我們把正多邊形的直棱柱管道看作圓形管道的變形來處理即止多邊形的直棱柱管道的平面展開圖與圓形管道的平面展開圖是同樣的.3模型的假設(shè)1管道沒有厚度即把管道剪開圖看成平面不考慮空間結(jié)構(gòu)2管道是剛性物體帶了也不具備彈性3管道截面是圓形或正多邊形整條管道粗細均勻4包扎過程中帶子的寬度不變，帶子也不能切斷5帶子沒有厚度且兩端截口垂直于它的邊?即把帶子看成一個長方形不考慮空間結(jié)構(gòu)4符號的約定1)a-…帶子的寬度2)b-----管道的長度；3c管道截面的周長4)1帶子的長度50---帶子截口所在的直線
5、與管道母線的夾角6S1--直角三角形AED的面積7S2—-直角三角形OBF的面積8S3—-四邊形COHG的面積9x--帶子重疊部分的寬度10y—重疊部分的帶子長度11m——截面正多邊形的邊長12n--截面正多邊形的邊數(shù).5模型的建立和求解5.1剛好全部包扎所用帶子最短模型經(jīng)過臨界點沿著管道的母線切開得到矩形ABCD如下圖1:圖1其中矩形ABCD為管道的側(cè)面展開圖三角形AED為直角三角形四邊形OHGC.定理1直角三角形AED的面積等于直角三角形OBF和四邊形OHGC之和.證明線段BF和線段CG在空間
6、圖形中是重合的故這兩線段II1等?把直角三角形OBF向右移動使BF與CG重合則構(gòu)成直角三角形OH0.又EDOHOBOCAD故AEDOH0即定理成立.推論1沿著管道任一母線剪開得到的平面展開圖中管道截面界線的兩端分別能組成兩個直角三角形且這兩個直角三角形的面積相等.由上面的定理1和推論可以得出剛好包扎管道所用帶子最短的模型：alSlS2S3bclSlaca222SlS2S3求得一般表達式為：be1c2a2a把題目中給出的數(shù)據(jù)代入一般表達式求得第一問題的臨界長度為：300.510.520.3250.4
7、米0.35.2管道包扎出現(xiàn)接縫處重疊的模型按圖1的剪開方法得到管道平曲展開圖如圖2:圖2其中陰影為帶子重疊部分.命題1在帶子寬度不變的條件下帶子相接處重疊的寬度一沱相等即圖2中陰影部分的平行四邊形的寬度不改變.5.2.1求陰影部分的帶了的長度.命題2陰影部分的長度比整條包扎帶子的長度短線段AE的長度.證明由推論2陰影部分的寬度相等故可以過圖2的A點垂直AE剪切再把剪切的左邊部分圖形補到右邊如下圖3:圖3由圖3可以看出ylAElccos5.2.2利用陰影部分的面積相等得到模型:xyalbcaxc2a
8、x2ylccosc2ax2cosc化簡此方程組得:2xac2ax2xlalbc01利用Matlab解方程1得到的結(jié)果過繁所以為了得到一個比較簡單而又接近實際的答案我們作以下處理：在?；詈凸ぷ髦袨榱斯?jié)省材料包扎管道的帶子一般不會比臨界長度長太多所以可用c2a2近似代替c2ax2求得結(jié)果為：ac2a2bealx22c2a21把第二問題的數(shù)據(jù)代入方程1得：x10.00357把第二問題的數(shù)據(jù)代入方程2得:x20.0036由以上計算得到的結(jié)果可以看出當(dāng)帶子的長度不太長時用ac2a2bealx
