隨機(jī)微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

《隨機(jī)微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、§5.3經(jīng)濟(jì)學(xué)中的SDE模型經(jīng)濟(jì)學(xué)是SDE的主要應(yīng)用領(lǐng)域之一.考慮到經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中充滿了不確定性,而這種不確定性乃是大量隨機(jī)因素干擾的結(jié)果,在對(duì)經(jīng)濟(jì)過程的數(shù)學(xué)描述中運(yùn)用SDE應(yīng)當(dāng)是不可避免的.早在20世紀(jì)70年代,著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Merton等人就將SDE應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)與金融中,且獲得了令人矚目的結(jié)果.近年來,SDE在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用更為普遍與深入.用SDE構(gòu)建的經(jīng)濟(jì)模型已如此之多,此處根本不可能作什么概括.下面僅介紹三個(gè)典型的經(jīng)濟(jì)模型,它們?cè)诂F(xiàn)代動(dòng)態(tài)宏觀經(jīng)濟(jì)理論中起著基本的作用.用這些模型作為解釋SDE方法的例子,應(yīng)該說是

2、很具啟發(fā)性的.考慮到不可避免地要用到一些經(jīng)濟(jì)學(xué)的術(shù)語與記號(hào),下面作一最低限度的介紹.設(shè)想我們考慮的是某個(gè)獨(dú)立運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),與其相關(guān)的經(jīng)濟(jì)變量都是隨機(jī)過程.分別以K,H,A,L,Y記該經(jīng)濟(jì)中物質(zhì)資本、人力資本、技術(shù)、勞動(dòng)力與產(chǎn)出的總量;以k=K/L記物質(zhì)資本的人均量,h=H/L仿此.假定K,H,A,L,的增長(zhǎng)服從如下微分方程:其中與本別為與的增長(zhǎng)路率,與分別為與的期望增長(zhǎng)率,假定是常數(shù).與的增長(zhǎng)分別受到Brown運(yùn)動(dòng)與的擾動(dòng),其擾動(dòng)強(qiáng)度分別為,假定相互獨(dú)立.對(duì)于與不考慮其自身的擾動(dòng).以上所做的種種假設(shè)不免有些理

3、想化,但這能使下面建立的模型較為簡(jiǎn)單.5.3.1Solow模型Solow模型是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論中具有奠基意義的模型,在SDE形式下,它可表成其中表示儲(chǔ)蓄率;是生產(chǎn)函數(shù),假定滿足如下條件:依式.方程的推導(dǎo)并不難:假定是一次齊次的生產(chǎn)函數(shù),記則（用（1.3.31））（用（1.3.1c））下面分析方程.方程顯然有零解.其次,因在內(nèi)是局部Lipschitz的,對(duì)每個(gè),方程必存在局部解（依定理3.1.4）.我們關(guān)心的是,是否為整體解且保持為正？這由以下定理解決.定理5.3.1設(shè),則對(duì)任何,方程的解是定義于上,且a.s.地

4、有.證采用定理5.2.2的證法.定義停時(shí)N.只要證故可取使得.定義則設(shè)是結(jié)合方程的微分算子,則利用條件易算出其次,用得利用以上事實(shí)立得因此必是某個(gè)正常數(shù).于是另一方面,當(dāng)時(shí)有,于是這推出,如所要證.條件意味著與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)比較,勞動(dòng)力的隨機(jī)波動(dòng)是偏小的.定理5.3.1表明,在此條件下,經(jīng)濟(jì)一旦啟動(dòng),就將一直運(yùn)行下去,絕不會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)因崩潰或過度膨脹而終止.下面保持這一條件而分析方程的解的漸近狀態(tài).我們特別關(guān)心的是:能否求出經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率的一個(gè)下限？試用§2.3中的方法,取Liapunov函數(shù),今估計(jì)（依（2.3.

5、31））:注意到,（用（5.3.3））即單調(diào)下降,有這就得到（參見定理2.3.9）:有（5.3.4）近似地可以說,式（5.3.4）表明的增長(zhǎng)率至少為.因已設(shè),式（5.3.4）并不能保證有正增長(zhǎng),但可保證絕不能有過大的負(fù)增長(zhǎng).若撤去條件,則可能出現(xiàn)三種結(jié)局:（ⅰ）在有限時(shí)間內(nèi)經(jīng)濟(jì)因而中止;（ⅱ）在有限時(shí)間內(nèi)經(jīng)濟(jì)因無界增長(zhǎng)而爆炸;（ⅲ）至少以為增長(zhǎng)率持久地增長(zhǎng).5.3.2人力資本模型在同時(shí)考慮物質(zhì)資本與人力資本的情況下,假定經(jīng)濟(jì)依據(jù)如下生產(chǎn)函數(shù)運(yùn)行:(5.3.5)其中與solow模型中的相對(duì)照,現(xiàn)在設(shè),其中,分別為

6、產(chǎn)出用于物質(zhì)資本與人力資本投資的份額,于是（用（1.3.31））（用（1.3.1）,（5.3.5））其中依式（5.3.1c）.對(duì)可求出類似的式子,于是得到關(guān)于的如下SDE:（5.3.6）或?qū)懗删仃囆问?對(duì)于方程（5.3.6）有類似于定理5.3.1的以下結(jié)果.定理5.3.2設(shè)以下條件滿足:（5.3.7）則對(duì)任何初值,方程（5.3.6）的解定義于區(qū)間上,且a.s.地保持為正.證仍用定理4.6.1的證法.定義停時(shí),只要證.約定.定義,則（5.3.8）由條件（5.3.7）推出由推出.這就由（5.3.8）得到是某個(gè)正常數(shù)

7、.于是另一方面,當(dāng)時(shí)以下四種情況之一必發(fā)生:于是顯然,故得,如所要證.類似于solow模型,若令,則因此,若是方程（5.3.6）的整體解且a.s.保證為正,則（5.3.9）于是得出經(jīng)濟(jì)可能的三種結(jié)局是:(ⅰ)因在有限時(shí)間內(nèi)或趨于零而中止;(ⅱ)在有限時(shí)間內(nèi)或無界增長(zhǎng);(ⅲ)經(jīng)濟(jì)持久地運(yùn)行且增長(zhǎng)率不低于.若條件（5.3.7）滿足,則僅有情況(ⅲ)出現(xiàn),以上事實(shí)與solow模型非常類似.5.3.3R＆D模型前面兩個(gè)模型都不涉及技術(shù)因素,因而不能解釋技術(shù)進(jìn)步對(duì)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的作用.今考慮將技術(shù)水平納入模型之內(nèi).設(shè)依式(5

8、.3.1b)增長(zhǎng),,(5.3.10)其中均為正參數(shù).的表達(dá)式表明,技術(shù)增長(zhǎng)率與物質(zhì)資本及勞動(dòng)力的投入正相關(guān),而與現(xiàn)有技術(shù)水平負(fù)相關(guān);后者意味著,技術(shù)水平愈高,其增長(zhǎng)就愈不容易.為記號(hào)簡(jiǎn)單起見,約定,且設(shè).于是(用(1.3.28))其中.(5.3.11a)類似地求出,因而得到關(guān)于的如下SDE:(5.3.12)其中(5.3.11b)(5.3.12)可寫成如下矩陣形式:,這正是在§5.2中討