有限元分析 均布荷載作用下深梁的變形和應(yīng)力

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1、學(xué)院：專業(yè)：姓名：班級：學(xué)號：有限元分析上級報告學(xué)院：專業(yè)：姓名：班級：學(xué)號：學(xué)院：專業(yè)：姓名：班級：學(xué)號：均布荷載作用下深梁的變形和應(yīng)力兩端簡支，長度l=5m，高度h=1m的深梁，在均布荷載q=5000N/m作用下發(fā)生平面彎曲（如圖4.1所示）。已知彈性模量為30Gpa，泊松比為0.3，試?yán)闷矫鎽?yīng)力單元PLANE82，確定跨中的最大撓度，和上下邊緣的最大拉壓應(yīng)力。4.1均布荷載作用下深梁計算模型1．理論解具有兩個簡支支座支承的簡支梁，它的變形和應(yīng)力分布在理論上是沒有解析表達(dá)式。在一般的彈性力學(xué)教科書中，只有將兩邊支座簡化為等效力的條件，即在兩個支座的側(cè)表面上作用有均勻分布的

2、剪力情況，才可以得到理論解答。(1)設(shè)定應(yīng)力函數(shù)。獲得這種情況下的解答的主要思路是：按照應(yīng)力解法，考慮到應(yīng)力分量關(guān)于該梁中心位置（x=2.5，y=0.5）有對稱和反對稱關(guān)系。可以首先假定一個應(yīng)力函數(shù)為：F=A(y-0.5)5+B(x-2.5)2(y-0.5)3+C(y-0.5)3+D(x-2.5)2+E(x-2.5)2(y-0.5)(4.1)依據(jù)這個應(yīng)力函數(shù)，可以獲得各個應(yīng)力分量，按照上表面受均布壓力作用簡支梁的上下表面和左右側(cè)表面的應(yīng)力邊界條件，確定出應(yīng)力函數(shù)（4.1）中的各個待定系數(shù)A，B，C，D和E。按照應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題方法，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該滿足雙調(diào)和函數(shù)：?2?2F=0

3、(4.2)將（4.1）應(yīng)力函數(shù)代入上式后，得到：24B(y-0.5)+120A(y-0.5)=0(4.3)即：B=-5A(4.4)(2)確定應(yīng)力分量。應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：(3)利用梁的上下表面邊界條件確定積分常數(shù)。上表面受均布壓力作用簡支梁的上表面（y=h=1m）的應(yīng)力邊界條件:學(xué)院：專業(yè)：姓名：班級：學(xué)號：下表面(y=0)的應(yīng)力邊界條件:(5)將梁的左右端面邊界條件降低為積分滿足?？疾爝吔鐥l件（4.13）到（4.16），可以看出，無法找到能滿足兩端側(cè)表面的所有應(yīng)力邊界條件的待定系數(shù)。根據(jù)彈性力學(xué)中的圣維南原理，可以在次要邊界上放松邊界條件。注意到梁的上下表面幾何尺

4、寸大于兩端側(cè)表面的高度，所以上下表面可以認(rèn)為是主要邊界，左右兩端側(cè)表面是次要邊界。將左右側(cè)面的應(yīng)力邊界條件放松為積分滿足，從而得到在左右支座位置有偏差，在遠(yuǎn)離兩端區(qū)域成立的解析解。將左側(cè)面(x=0)的應(yīng)力邊界條件（4.13）和（4.13）轉(zhuǎn)換為積分條件:將右側(cè)面(x=l=5m)的應(yīng)力邊界條件（4.15）和（4.16）轉(zhuǎn)換為積分條件:這些積分條件中的(4.17)，(4.19)，(4.20)和(4.22)會自動滿足。條件（4.18）和(4.21)相同，并且可以確定出：(6)獲得最準(zhǔn)的應(yīng)力解答。將這些待定系數(shù)代入到(4.5)，(4.6)和(4.7)，得到各個應(yīng)力分量為：應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力

5、分量之間的關(guān)系為：學(xué)院：專業(yè)：姓名：班級：學(xué)號：(7)應(yīng)力結(jié)果的討論。以上應(yīng)力表達(dá)式在遠(yuǎn)離支座的區(qū)域內(nèi)是準(zhǔn)確的。我們知道，在梁的跨中，彎矩取得最大值，所以彎曲應(yīng)力σx在跨中最大。從彎曲應(yīng)力σx的（4.24）的化簡過程可以看出，該應(yīng)力分量沿著梁的截面高度Y分布除了第一個線性（材料力學(xué)解答）項外，疊加了一個非線性項，這一項就是對材料力學(xué)解答的修正項。這一修正項在梁的下邊緣y＝0和上邊緣y=1處的值為：由此可以看出，深梁和細(xì)長梁在最大彎矩截面引起的拉壓應(yīng)力，差別不大。代入數(shù)值，可以得到最大應(yīng)力為σxmax=18.95q=94750Pa。從豎向應(yīng)力σy的表達(dá)式(4.25)可以看出，它與

6、水平位移無關(guān)，只與豎向坐標(biāo)y有關(guān)。遠(yuǎn)離支座區(qū)域的豎向應(yīng)力的最大值為5000ymaxs=-q=-PPaa，最小值為0。剪應(yīng)力和截面位置有關(guān)，并且和截面上的總剪力成正比，呈拋物線分布。這一結(jié)論和材料力學(xué)中的梁內(nèi)剪應(yīng)力分布規(guī)律相同。在支座附近剪應(yīng)力最大，且最大值達(dá)到：學(xué)院：專業(yè)：姓名：班級：學(xué)號：(8)用圖形顯示應(yīng)力結(jié)果。由表達(dá)式(4.24)至(4.26)描述的應(yīng)力分布可以在Maple環(huán)境中，給出它們的等值線圖。圖4.2描述的是不同截面上的水平應(yīng)力σx沿著梁的橫截面高度的分布情況，應(yīng)力從小到大對應(yīng)的截面位置分別是0.5m，1m，1.5m，1m，2.5m。圖4.3描述的是水平應(yīng)力σx在

7、梁內(nèi)分布的等值線圖。圖4.2均布荷載作用下深梁內(nèi)的不同截面上的水平應(yīng)力分布圖圖4.3均布荷載作用下深梁內(nèi)的水平應(yīng)力分布等值線圖圖4.4描述的是豎向應(yīng)力σy在梁內(nèi)任意位置橫截面上沿著高度的分布情況。圖4.5描述的是豎向應(yīng)力σy在梁內(nèi)分布的等值線圖。圖4.4均布荷載作用下深梁任意橫截面位置沿著高度方向豎向應(yīng)力分布情況學(xué)院：專業(yè)：姓名：班級：學(xué)號：圖4.5均布荷載作用下深梁內(nèi)的豎向應(yīng)力分布等值線圖圖4.6描述的是梁內(nèi)不同位置的橫截面上的剪應(yīng)力τxy沿著梁的橫截面高度的分布情況，應(yīng)力從大到小對應(yīng)的截