外文翻譯-分數(shù)階導(dǎo)數(shù)

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1、譯文：分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園MarciaKleinz,ThomasJ.Osler大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)報（美國），2000年3月，31卷，第2期，第82-88頁1引言我們都熟悉的導(dǎo)數(shù)的定義。通常記作這些都是很容易理解的。我們同樣也熟悉一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，例如但是像這樣的記號又代表什么意思呢？大多數(shù)的讀者之前肯定沒有遇到過導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是1/2的。因為幾乎沒有任何教科書會提到它。然而，這個概念早在18世紀，Leibnitz已經(jīng)開始探討。在之后的歲月里，包括L’Hospital,Euler,Lagrange,Laplac

2、e,Riemann,Fourier,Liouville等數(shù)學(xué)大家和其他一些數(shù)學(xué)家也出現(xiàn)過或者研究過的概念。現(xiàn)在，關(guān)于“分數(shù)微積分”的文獻已經(jīng)大量存在。近期關(guān)于“分數(shù)微積分”的兩本研究生教材也出版了，就是參考文獻[9]和[11]。此外，兩篇在會議上發(fā)表的論文[7]和[14]也被收錄。Wheeler在文獻[15]已編制了一些可讀性較強，較易理解的資料，雖然這些都還沒有正式出版。本論文的目的是想用一種親和的口吻去介紹分數(shù)階微積分。而不是像平常教科書里面的從定義-引理-定理的方法介紹它。我們尋找了一個新的想

3、法去介紹分數(shù)階導(dǎo)數(shù)。首先我們從熟悉的n階導(dǎo)數(shù)的例子開始，比如。然后用其他數(shù)字取代自然數(shù)字n。這種方式，感覺像是偵探一樣，步步深入。我們將尋求蘊含在這個構(gòu)思里面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們在探討了各種思路，對分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的概念后，才對分數(shù)階導(dǎo)數(shù)給出正式定義。（如果想快速瀏覽它的正式定義，請參見米勒的優(yōu)秀論文，參考文獻[8]。）隨著探究的深入，我們會不時地讓讀者去思考一些問題。對這些問題的答案將在本文的最后一節(jié)呈現(xiàn)。那到底什么是一個分數(shù)階導(dǎo)數(shù)呢？讓我們一起來看看吧……2指數(shù)函數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)我們將首先研究指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4、。因為他們導(dǎo)數(shù)的形式，比較容易推廣。我們熟悉的導(dǎo)數(shù)的表達式。，在一般情況下，當n為整數(shù)時，。那么我們能不能用1/2取代n，并記作呢？我們何不嘗試一下？為什么不更進一步，讓n是一個無理數(shù)或者復(fù)數(shù)比如1+i？我們大膽地寫作（1）對任意一個，無論是整數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù)，還是復(fù)數(shù)。當是負整數(shù)時，考慮14（1）式的意義是很有趣的。我們自然希望有成立。因為，所以我們有。同理。當是負整數(shù)時，我們將看作是n次迭代的積分是合理。當是正實數(shù)，代表導(dǎo)數(shù)，當是負實數(shù)，代表積分。請注意，我們還沒對一般函數(shù)給出分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義

5、。但是，如果這一定義被發(fā)現(xiàn)，我們期望指數(shù)函數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)遵循關(guān)系式（1）。我們注意到，劉維爾在他的論文[5]和[6]中就是采用這種方法去考慮微分的。問題問題1：在上述情況下，成立嗎？問題2：在上述情況下，成立嗎？問題3：上述和，真的正確嗎？還是遺漏了一些東西？問題4：用蘊含在（1）式的想法，怎樣對一般性的函數(shù)求分數(shù)階導(dǎo)數(shù)？3三角函數(shù)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)我們對于正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)很熟悉：這些對于尋求，并沒有明顯的規(guī)律。但是，當我們畫出這些函數(shù)的圖形時，會挖掘出其中的規(guī)律。即每當我們求一次微分，的圖像向左平

6、移。所以對求n次微分，那么得到的圖像就是向左平移，即得到。如前，我們用任意數(shù)替換正整數(shù)n。所以，我們得到正弦函數(shù)的任意次導(dǎo)數(shù)的表達式，同理我們也得到余弦函數(shù)的：（2）在得到表達式（2）之后，我們自然想，這個猜測與指數(shù)函數(shù)的結(jié)果是否保持一致。為了驗證這個猜測，我們可以使用歐拉公式。利用表達式（1），我們可以計算得到，這與（2）式是吻合的。問題問題5：是什么？144的導(dǎo)數(shù)我們現(xiàn)在看看x次方的導(dǎo)數(shù)。我們以為例有：表達式（3）用連乘的分子和分母去替換，則得到結(jié)果如下上式就是的一般表達式。我們通過伽瑪函數(shù)，用

7、任意數(shù)替換正整數(shù)n。當（4）式中的p和n是不是自然數(shù)時，伽瑪函數(shù)使他們在替換后任然有意義。伽馬函數(shù)是歐拉在18世紀引進的概念。當時是推廣記號，當z不是整數(shù)時。它的定義是，它具有這樣的性質(zhì)。那么我們可以將表達式（4）重新寫作這使得當n不是整數(shù)式，（4）式還是有意義的。所以對于任意的，我們寫作利用（5）式，我們可以將分數(shù)階導(dǎo)數(shù)延伸到很多的函數(shù)。因為對于任意給定的函數(shù)，我們可以利用Taylor級數(shù)展開成多項式的形式，假設(shè)我們可以對進行任意次微分，那么我們得到最終那個表達式（6）呈現(xiàn)出具有作為分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義

8、候選項的氣質(zhì)。因為大量的函數(shù)都可以利用Taylor公式展開成冪級數(shù)的形式。然后，我們很快會發(fā)現(xiàn)它會導(dǎo)致矛盾的產(chǎn)生。問題問題6：是否有幾何意義？5一個神秘的矛盾14我們將的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)寫為現(xiàn)在讓我們拿它與（6）式進行對比，看看他們是否一致。從Taylor級數(shù)來看，結(jié)合（6）式，我們得到如下表達式但是，（7）及（8）是不等價的，除非是整數(shù)。當是整數(shù)時，（8）式的右側(cè)是的級數(shù)形式，只是用不同的表達方式。但是當不是整數(shù)時，我們得到兩個完全不一樣的函數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)了歷史上引起大問題