外文翻譯-分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

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1、浙江師范大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)外文翻譯譯文：分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園MarciaKleinz,ThomasJ.Osler大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)（美國），2000年3月，31卷，第2期，第82-88頁1引言我們都熟悉的導(dǎo)數(shù)的定義。通常記作這些都是很容易理解的。我們同樣也熟悉一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，例如但是像這樣的記號又代表什么意思呢？大多數(shù)的讀者之前肯定沒有遇到過導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是1/2的。因?yàn)閹缀鯖]有任何教科書會(huì)提到它。然而，這個(gè)概念早在18世紀(jì)，Leibnitz已經(jīng)開始探討。在之后的歲月里，包括L’Hospital,Euler,L

2、agrange,Laplace,Riemann,Fourier,Liouville等數(shù)學(xué)大家和其他一些數(shù)學(xué)家也出現(xiàn)過或者研究過的概念。現(xiàn)在，關(guān)于“分?jǐn)?shù)微積分”的文獻(xiàn)已經(jīng)大量存在。近期關(guān)于“分?jǐn)?shù)微積分”的兩本研究生教材也出版了，就是參考文獻(xiàn)[9]和[11]。此外，兩篇在會(huì)議上發(fā)表的論文[7]和[14]也被收錄。Wheeler在文獻(xiàn)[15]已編制了一些可讀性較強(qiáng)，較易理解的資料，雖然這些都還沒有正式出版。本論文的目的是想用一種親和的口吻去介紹分?jǐn)?shù)階微積分。而不是像平常教科書里面的從定義-引理-定理的方法介紹它。我們

3、尋找了一個(gè)新的想法去介紹分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。首先我們從熟悉的n階導(dǎo)數(shù)的例子開始，比如。然后用其他數(shù)字取代自然數(shù)字n。這種方式，感覺像是偵探一樣，步步深入。我們將尋求蘊(yùn)含在這個(gè)構(gòu)思里面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們在探討了各種思路，對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念后，才對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)給出正式定義。（如果想快速瀏覽它的正式定義，請參見米勒的優(yōu)秀論文，參考文獻(xiàn)[8]。）隨著探究的深入，我們會(huì)不時(shí)地讓讀者去思考一些問題。對這些問題的答案將在本文的最后一節(jié)呈現(xiàn)。那到底什么是一個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)呢？讓我們一起來看看吧……2指數(shù)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)我們將首先研究指數(shù)函數(shù)的

4、導(dǎo)數(shù)。因?yàn)樗麄儗?dǎo)數(shù)的形式，比較容易推廣。我們熟悉的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。，在一般情況下，當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，。那么我們能不能用1/2取代n，并記作呢？我們何不嘗試一下？為什么不更進(jìn)一步，讓n是一個(gè)無理數(shù)或者復(fù)數(shù)比如1+i？15我們大膽地寫作（1）對任意一個(gè)，無論是整數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù)，還是復(fù)數(shù)。當(dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí)，考慮（1）式的意義是很有趣的。我們自然希望有成立。因?yàn)?，所以我們有。同理。?dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí)，我們將看作是n次迭代的積分是合理。當(dāng)是正實(shí)數(shù)，代表導(dǎo)數(shù)，當(dāng)是負(fù)實(shí)數(shù)，代表積分。請注意，我們還沒對一般函數(shù)給出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義。但是，

5、如果這一定義被發(fā)現(xiàn)，我們期望指數(shù)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)遵循關(guān)系式（1）。我們注意到，劉維爾在他的論文[5]和[6]中就是采用這種方法去考慮微分的。問題問題1：在上述情況下，成立嗎？問題2：在上述情況下，成立嗎？問題3：上述和，真的正確嗎？還是遺漏了一些東西？問題4：用蘊(yùn)含在（1）式的想法，怎樣對一般性的函數(shù)求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)？3三角函數(shù)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)我們對于正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)很熟悉：這些對于尋求，并沒有明顯的規(guī)律。但是，當(dāng)我們畫出這些函數(shù)的圖形時(shí)，會(huì)挖掘出其中的規(guī)律。即每當(dāng)我們求一次微分，的圖像向左平移。所以對求n次微分

6、，那么得到的圖像就是向左平移，即得到。如前，我們用任意數(shù)替換正整數(shù)n。所以，我們得到正弦函數(shù)的任意次導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，同理我們也得到余弦函數(shù)的：（2）在得到表達(dá)式（2）之后，我們自然想，這個(gè)猜測與指數(shù)函數(shù)的結(jié)果是否保持一致。為了驗(yàn)證這個(gè)猜測，我們可以使用歐拉公式。利用表達(dá)式（1），我們可以計(jì)算15得到，這與（2）式是吻合的。問題問題5：是什么？4的導(dǎo)數(shù)我們現(xiàn)在看看x次方的導(dǎo)數(shù)。我們以為例有：表達(dá)式（3）用連乘的分子和分母去替換，則得到結(jié)果如下上式就是的一般表達(dá)式。我們通過伽瑪函數(shù)，用任意數(shù)替換正整數(shù)n。當(dāng)（4）式中

7、的p和n是不是自然數(shù)時(shí)，伽瑪函數(shù)使他們在替換后任然有意義。伽馬函數(shù)是歐拉在18世紀(jì)引進(jìn)的概念。當(dāng)時(shí)是推廣記號，當(dāng)z不是整數(shù)時(shí)。它的定義是，它具有這樣的性質(zhì)。那么我們可以將表達(dá)式（4）重新寫作這使得當(dāng)n不是整數(shù)式，（4）式還是有意義的。所以對于任意的，我們寫作利用（5）式，我們可以將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)延伸到很多的函數(shù)。因?yàn)閷τ谌我饨o定的函數(shù)，我們可以利用Taylor級數(shù)展開成多項(xiàng)式的形式，假設(shè)我們可以對進(jìn)行任意次微分，那么我們得到最終那個(gè)表達(dá)式（6）呈現(xiàn)出具有作為15分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義候選項(xiàng)的氣質(zhì)。因?yàn)榇罅康暮瘮?shù)都可以利用T

8、aylor公式展開成冪級數(shù)的形式。然后，我們很快會(huì)發(fā)現(xiàn)它會(huì)導(dǎo)致矛盾的產(chǎn)生。問題問題6：是否有幾何意義？5一個(gè)神秘的矛盾我們將的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)寫為現(xiàn)在讓我們拿它與（6）式進(jìn)行對比，看看他們是否一致。從Taylor級數(shù)來看，結(jié)合（6）式，我們得到如下表達(dá)式但是，（7）及（8）是不等價(jià)的，除非是整數(shù)。當(dāng)是整數(shù)時(shí)，（8）式的右側(cè)是的級數(shù)形式，只是用不同的表達(dá)方式。但是當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，我們得到兩個(gè)完全