§. 換元積分法和分部積分法

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3、1+t

4、)0=2(2-ln3)2定理5.3.1設函數(shù)

5、f(x)在[a,b]上連續(xù)，函數(shù)x=j(t)滿足：(1)j(t)在[a,b]上有連續(xù)導數(shù)j￠(t)，(2)當a￡t￡b時,a￡j(t)￡b,且j(a)=a,j(b)=23b;則有òbaf(x)dx=òf[j(t)]j‘(t23)dt.a2b例1.解設x+2ò02x+1dx.2t-1,dx=tdt,2x+1=t,x=2x:0?4;t:1?3.4ò40t2-1+23x+21322dx=òtdt=ò(t+3)dt121t2x+1221t=(+3t)=233231333例2計算解設x=asint(0￡x￡a),dx=acostdtpx:0?a,

6、t:0?.2a-xdx=ò22òa0a-xdx(a>0)22a-asint×acostdt0ppyy=a2-x21+cos2t2dt=a2ò2cos2tdt=aò0202p2pa22a1=(t+sin2t)=oax422020222324òap例3計算解設x=tant,dx=sec2tdtx:0?1;t:0?p410ò10(1+x2)dx-32ò(1+x2)dx=ò4(1+tan2t23)0-32p-32sec2tdt=òcostdt=sint4040pp2=2注意(1).代換x=j(t)必須單值且有連續(xù)導數(shù);23(2).換元的同時,必

7、須換積分限;23(3).積分后不必還原,只要把新的積分限代入即可.5例4.證明若證Qf(x)為偶函數(shù),則有òf(x)dx=2òf(x)dx-a0aaòa-af(x)dx=òf(x)dx+òf(x)dx-a2300a結(jié)論aò=òf(x)dx所以,òf(x)dx=2òf(x)dx.同理若f(x)為奇函數(shù),則òf(x)dx=0.254例如,òxsinxdx=0.-2ò0-af(x)dxx=-t0=aaf(-t)d(-t)=-òaf(t)dt=ò0f(t23)dt00aa-a0結(jié)論a-a6ìxe,x30,4?例5.設函數(shù)f(x)=í1,-1

8、<0,計算ò1f(x-2)dx.?1+cosx?-x2解設òx-2=t,dx=dt,x:1?4;t:-1?2.0224dt-t2+òtedtf(x-2)dx=òf(t)dt=ò-1-111+cost00t1-t212-t22-e=ò-òed(-t)=tan-12-122t202cos211-41=tan-e+.22232dt02075.3.2定積分的分部積分法定理設函數(shù)u(x),v(x)在[a,b]上有連續(xù)導數(shù)，則ò證baudv=(uv)a-òvdu.babb定積分的分部積分公式Q(uv)’=u’v+uv’.(uv)a23=ò(uv)’

9、dx=òavu’dx+òauv’dx.bbbòauv’dx=(uv)a-òavu’dx,bbbòaudv=(uv)a-òavdu.a8bbb定積分的分部積分公式的適用范圍及使用方法與不定積分類同23.例1.計算解10òarctanxdx=(xarctanx)-òxdarctanxxp1p-p1=ò1+xdx=4-2ln(1+x)=4-2ln2.41òarctanxdx.0102110022310例2.計算解令ò10exdx.2x=t,x=t,dx=2tdt,x:0?1,t:0?1.edx=2òtedt=2ò0td(e)=2(te)-2ò

10、etdt0xt123tò11t11000=2e-2et10=232.9例3.計算解òpòp20esinxdxp20x20p2esinxdx=23òx-ò2exdsinxsinxde=esinx0xx20pp