條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用——畢業(yè)論文

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1、條件概率及其應(yīng)用摘要概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科，由于在生產(chǎn)生活等等各個(gè)方面隨機(jī)現(xiàn)象具有普遍性，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有極其廣闊的應(yīng)用。概率論是對(duì)隨機(jī)事物的現(xiàn)象進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)又是對(duì)隨機(jī)事物現(xiàn)象進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究。并且條件概率這個(gè)概念有是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要的內(nèi)容和一個(gè)基本的工具。本文從條件概率的定義、性質(zhì)、定理、應(yīng)用這四個(gè)方面來解釋、探討、分析條件概率。近年來，由于一方面它為科學(xué)技術(shù)、工農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)等的現(xiàn)代化作出了極其重要的貢獻(xiàn)；另一方面，廣泛的應(yīng)用也促進(jìn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了非常大的發(fā)展。本文從條件概率的定義、性質(zhì)、

2、定理這三個(gè)方面來解釋、探討、分析條件概率。并從應(yīng)用的角度對(duì)條件概率進(jìn)行系統(tǒng)全面的闡述，把目前應(yīng)用和后繼發(fā)展進(jìn)行兼顧考慮，隨著科學(xué)技術(shù)、工農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)等的現(xiàn)代化的發(fā)展，該課題還存在大量的后續(xù)研究工作。關(guān)鍵詞：條件概率；全概率公式；貝葉斯公式；應(yīng)用引言或緒論等（內(nèi)容略）第一章．條件概率的定義和性質(zhì)條件概率是概率論中的一個(gè)基本工具，在中產(chǎn)生活中有著重要作用。在現(xiàn)實(shí)的世界里很少存在單一的不受別的事件影響的情況，由于事件的概率經(jīng)常會(huì)由于其他時(shí)間的影響而發(fā)生改變，所以這里我們引入條件概率這一概念。這樣我們就能了解在事件B已經(jīng)發(fā)生的情況下時(shí)間A發(fā)生的概率，這樣也就解決了無條件概率不能

3、解決的問題…例1、設(shè)在N只雞的總體中，有條是白雞而且有條是母雞的。若事件A及事件B表示隨機(jī)選取一條是白雞及是母雞，則P(A)=P(B)=現(xiàn)在，以所有母雞組成的子總體代替總體的位置，我們來計(jì)算從母雞中隨機(jī)選出的一只雞是白雞的概率。這概率就是/，其中是白色母雞的數(shù)目。在研究某個(gè)特定的子集的時(shí)候，我們需要用一個(gè)新的符號(hào)來表達(dá)。一般所采用的符號(hào)是P(A

4、B)，可讀為“在事件B（所選出的雞是母雞的）發(fā)生的假定條件下，時(shí)間A（白雞）發(fā)生的概率”。采用數(shù)學(xué)符號(hào)P(A

5、B)==很顯然，每一個(gè)子集本身總可以被考慮為一個(gè)總體。為了表達(dá)上的方便，我們說一個(gè)子集時(shí)，意思是說這個(gè)子集背后還有一

6、個(gè)較大的總體。從上面的例子可以看出P(A)一般是與P(A

7、B)不同的。再來看一個(gè)例子。例2、從標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)球中，等可能地任取一個(gè)球，那么事件A：“得標(biāo)號(hào)為4”的概率P(A)=0.25；如果已知事件B：“得標(biāo)號(hào)為偶數(shù)”已經(jīng)出現(xiàn)，那么這時(shí)只剩下兩種可能，或得2號(hào)或得4號(hào)，所以P(A

8、B)=0.5在一般情況下，應(yīng)該怎么樣定義P(A

9、B)呢？由于頻率與概率有很多類似的性質(zhì)，先從頻率的討論開始。設(shè)A、B為任一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E中的兩個(gè)事件，每次試驗(yàn)結(jié)果。不外是下列四種情況中的一種。（1）A出現(xiàn)，B不出現(xiàn)（2）B出現(xiàn)，A不出現(xiàn)（3）A,B都出現(xiàn)（4）A,B都不出現(xiàn)。現(xiàn)在把

10、E重復(fù)做n次，分別以n1、n2、n3、n4記下四種情況出現(xiàn)的次數(shù)，顯然=n。而且B的頻率為（B）=，AB的頻率為（AB）=，在B已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，A的頻率為（A

11、B）=，根據(jù)這些式子，得（AB）=（A

12、B）（B）。因此，如（B）>0就有（A

13、B）=這個(gè)式子告訴我們，如何去定義P(A

14、B)。我們就得到如下定義定義設(shè)（Ω,F,P）為概率空間，AF,BF,設(shè)P(B)>0。在事件B已出現(xiàn)的條件下，事件A出現(xiàn)的概率P(A

15、B)定義為P(A

16、B)=對(duì)于古典類型的隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)B含有m個(gè)不同的基本事件，m>0，AB含有k個(gè)，以n表示Ω中總共不同的基本事件的個(gè)數(shù)，則P(A

17、B)==類似

18、的可以知道，對(duì)于幾何隨機(jī)試驗(yàn)，例如F(B)>0，我們有這樣的式子P(A

19、B)==容易驗(yàn)證，條件概率具有概率定義中的三個(gè)基本性質(zhì)：如果P(B)>0,那么P（A

20、B）作為A的集函數(shù)是F上的概率；即（1）對(duì)每個(gè)AF，有1P（A

21、B）0；（2）P（

22、B）=1；（3）如F，m=1，2，….，兩兩互不相容，則有現(xiàn)在對(duì)上面的三個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明：證（1）因，>0，故由（3）知1P（A

23、B）0（2）===1（3）===第二章．條件概率的三定理現(xiàn)在對(duì)條件概率來證明三條重要的定理，這就是：概率的乘法定理，全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式。這些定理在概率的計(jì)算中起著重要的作為。2.1概率的

24、乘法定理定理1設(shè)，，….，為n個(gè)事件，n2，滿足>0；則=上式稱為乘法公式。它的直觀意義是：，，….，同時(shí)出現(xiàn)的概率，等于出現(xiàn)，在出現(xiàn)的條件下出現(xiàn)，在，出現(xiàn)的條件下出現(xiàn)，各自的概率的乘積。證由于>0，故=右方出現(xiàn)的條件概率都有意義；由條件概率的定義有例1設(shè)箱子內(nèi)有a（a2）個(gè)白球b個(gè)黑球，在其中接連取三次，每一次取出一個(gè)球，取球后不還原，問三個(gè)取出來的求都是白球的概率是多少？解以表示“第i次取得白球”這一個(gè)事件，i=1、2、3、要求的是。因?yàn)楣士捎?。顯然。如已知第一次取得白球，箱內(nèi)只剩下a-1個(gè)白球b個(gè)黑球，可見，類似得=。于是由概率的乘法公式得注