§10 格林函數(shù)法求解穩(wěn)定場問題

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1、第十講格林函數(shù)法求解穩(wěn)定場問題1格林函數(shù)法求解穩(wěn)定場問題(Green’sFunction)Green’sFunction,又名源函數(shù)，或影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要概念。從物理上看，一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程表示一種特定的場和產(chǎn)生這種場的源之間關(guān)系：熱傳導(dǎo)方程（HeatEq.）：表示溫度場與熱源之間關(guān)系Poission’sEq.：表示靜電場與電荷分布之間的關(guān)系場可以由一個(gè)連續(xù)的體分布源、面分布源或線分布源產(chǎn)生，也可以由一個(gè)點(diǎn)源產(chǎn)生。但是，最重要的是連續(xù)分布源所產(chǎn)生的場，可以由無限多個(gè)電源在同樣空間所產(chǎn)生的場線性疊加得到。例

2、如，在有限體內(nèi)連續(xù)分布電荷在無界區(qū)域中產(chǎn)生的電勢：27這就是把連續(xù)分布電荷體產(chǎn)生的電勢用點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢疊加表示。或者說，知道了一個(gè)點(diǎn)源的場，就可以通過疊加的方法算出任意源的場。所以，研究點(diǎn)源及其所產(chǎn)生場之間的關(guān)系十分重要。這里就引入Grenn’sFunctions的概念。Green’sFunctions：代表一個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場。下面，我們先給出Green’sFunctions的意義，再介紹如何在幾個(gè)典型區(qū)域求出格林函數(shù)，并證明格林函數(shù)的對稱性，最后用格林函數(shù)法求解泊松方程的邊值問題。（我們將不介紹格林函數(shù)法在熱傳導(dǎo)

3、問題和波動(dòng)方程求解中的應(yīng)用。）普遍而準(zhǔn)確地說，格林函數(shù)是一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場。所以，我們需要在特定的邊值問題中來討論Green’sFunctions.我們只限于討論泊松方程的第一類邊值問題所對應(yīng)的Green’sFunctions.2泊松方程的格林函數(shù)靜電場中常遇到的泊松方程的邊值問題：27這里討論的是靜電場，代表自由電荷密度。格林函數(shù)：位于的單位正電荷在處所激發(fā)的滿足齊次邊界條件的電勢。三維Green’sFunctions定解問題為：①這里表述了單位正電荷的體密度。注意：對于第二類齊次邊界條

4、件且對于有限的研究區(qū)域，這個(gè)定解問題無解。這是因?yàn)椋m然方程說明內(nèi)有單位正電荷存在，而邊界條件說明點(diǎn)源產(chǎn)生的場在邊界上電場的法向分量處處為零，說明邊界條件與方程不相容。另外，可以對方程作積分27這時(shí)要包含點(diǎn)，用高斯定理得這就矛盾了?。?！注：高斯定理這時(shí)引入廣義格林函數(shù)②其中為常數(shù)，還要增加一個(gè)條件，以保證解的唯一性。求解上面方程組①或②，可得在給定區(qū)域的泊松方程的各類邊值問題的格林函數(shù)。273鏡像法求G.F.用Green’sFunctions去求解數(shù)理方程的定解問題，首先要求出相同邊界、同類邊值問題的Green’sF

5、unction.3.1鏡像法的基本概念很多物理問題沒有一個(gè)普遍奏效的解法，人們發(fā)展了許多方法，而每一種方法只能解決一部分問題。其中的一種辦法是所謂“猜解”，即“嘗試解”。這要有所謂的“唯一性定理”保證。唯一性定理：某些物理問題（如靜電邊值問題）有唯一解。可以通過并不唯一的方法找到這個(gè)唯一解，這樣就保證了解題方法的多樣性和靈活性。靜電鏡像法是一種特殊的猜解方法，其基本思想是：利用點(diǎn)電荷模擬邊界面上的感應(yīng)電荷或極化電荷。可用于鏡像法解決的問題包括：27在點(diǎn)或線電荷與導(dǎo)體（或介質(zhì)）存在的系統(tǒng)中，空間任一點(diǎn)的場是由點(diǎn)（或線）

6、電荷與界面上感應(yīng)（或極化）電荷共同產(chǎn)生的，而感應(yīng)（或極化）電荷事先并不知道。通過分析邊界條件可以找到一個(gè)（或多個(gè)）像電荷來等效地代替導(dǎo)體面（或介質(zhì)面）上的感應(yīng)（或極化）電荷，從而把點(diǎn)（或線）電荷與界面上感應(yīng)（或極化）電荷在待求區(qū)域產(chǎn)生場的求解問題轉(zhuǎn)化為真實(shí)點(diǎn)電荷和虛像電荷在待求區(qū)域所產(chǎn)生場的簡單疊加。鏡像法求邊值問題的一般步驟為（以靜電場為例）：1）列出定解問題：電勢在待求區(qū)域所滿足的微分方程和邊界條件；2）根據(jù)邊界條件分析鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置；3）寫出電勢分布的形式表達(dá)式（嘗試解）；4）把邊界條件帶入形式表達(dá)式以確

7、定像電荷的量值和位置；5）把已求出的像電荷帶入形式解以得到真實(shí)的電勢分布；6）根據(jù)題意要求可由電勢求場強(qiáng)、電荷分布及受力等問題。靜電鏡像法分為：反射鏡像法：平面鏡法球面鏡法半透鏡法：平面鏡法球面鏡法273．2無界空間定解問題對應(yīng)物理問題：單位正電荷置于，求空間任一點(diǎn)處的電勢庫侖定律給出的解――無界區(qū)域的Green’sFunction：又叫基本解。273．2上半空間定解問題這里實(shí)際上可以給出滿足第一類邊界條件的G.F.ofthefirstkind.物理問題：在處，有一無限大接地金屬板，在處有一單位正電荷，求金屬板上方任

8、一點(diǎn)處的電勢鏡像法的基本思想用在這里：當(dāng)電荷置于導(dǎo)體板的上方時(shí)，由于靜電感應(yīng)，板上出現(xiàn)異號電荷，空間電場是由電荷27及感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，即。格林等效層定理：帶電導(dǎo)體面上的電荷分布在導(dǎo)體外產(chǎn)生的電勢，可以用導(dǎo)體面內(nèi)的一定的等效電荷分布來代替。我們通過電場分布分析，引進(jìn)像電荷――假想電荷――來代替感應(yīng)電荷作用。在這里，我們在電荷相對于平面的鏡像位