夏建新--初等數(shù)論

《夏建新--初等數(shù)論》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、2012年江蘇省高中數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營(yíng)初等數(shù)論江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)夏建新一、整除⑴帶余除法：對(duì)于任一整數(shù)a和任一非零整數(shù)b，必有惟一的一對(duì)整數(shù)q和r，使得a＝bq＋r，0≤r＜b，且q和r由上述條件惟一確定。　若r＝0，則稱b

2、a。⑵部分性質(zhì)：①若c

3、b，b

4、a，則c

5、a②若c

6、a，d

7、b，則cd

8、ab③若c

9、a，c

10、b，則c

11、（ka＋nb）；若c

12、a，cb，則c（a＋b）④若ma

13、mb，則a

14、b⑤若a＞0，b＞0，b

15、a，則b≤a⑥若n∈N*，則（a－b）

16、（an－bn）。若n為奇數(shù)，則（a＋b）

17、（an＋bn）。若n為偶數(shù)，則（a＋b）

18、（an－bn）⑦任

19、意n個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積必能被n！整除。⑶當(dāng)（a，b）＝1時(shí)，稱a、b互素（互質(zhì)）。有：①已知（a，c）＝1，若a

20、bc，則a

21、b；若a

22、b，c

23、b，則ac

24、b②p為質(zhì)數(shù)，若p

25、ab，則p

26、a或p

27、b③[a，b]·（a，b）＝ab④（a，b）＝（a，b－ac）＝（a－bc，b）對(duì)任何整數(shù)c成立⑤（裴蜀定理）存在整數(shù)x、y，使ax＋by＝（a，b）⑥m（a，b）＝（ma，mb）⑦若（a，b）＝d，則＝1⑧若a

28、m，b

29、m，則[a，b]

30、m⑨m[a，b]＝[ma，mb]⑩費(fèi)爾馬小定理：p是素?cái)?shù)，則p

31、ap－a若另上條件（a，p）＝1，則p

32、ap－1－1例1、求所有

33、的正整數(shù)n，使得8n＋n可以被2n＋n整除。（2009年日本數(shù)學(xué)奧林匹克）例2、設(shè)n≥m≥1，m、n為整數(shù)，證明：·C為整數(shù)。（2000年普特南）例3、求所有的正整數(shù)n，使n能被所有不大于的正整數(shù)整除。例4、已知a，b，c為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且a2

34、(b3＋c3)，b2

35、(a3＋c3)，c2

36、(a3＋b3)，求a，b，c的值．（2011年?yáng)|南數(shù)學(xué)奧林匹克）例5、求有序三元正整數(shù)組（a，b，c）的個(gè)數(shù)，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[a，c]＝2000。（[x，y]表示x、y的最小公倍數(shù)）例6、證明：對(duì)所有的非負(fù)整數(shù)n，7＋1至少是2n＋3個(gè)

37、質(zhì)數(shù)（不一定互不相同）的乘積。（2007年第36屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）例7、是否存在奇數(shù)n（n≥3）及n個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)p1，p2，…，pn，使得pi＋pi＋1（i＝1，2，…，n，pn＋1＝p1）都是完全平方數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。（2011年中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克）二、同余1、定義：設(shè)m是正整數(shù)，叫做模，若m

38、（a－b），稱a，b對(duì)模m同余，記作a≡b（modm）2、性質(zhì)：①a≡a（modm）②若a≡b（modm），則b≡a（modm）③若a≡b（modm），b≡c（modm），則a≡c（modm）④若a≡b（modm），c≡d（modm），則a±c≡b±d（m

39、odm），ac≡bd（modm）2012年江蘇省高中數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營(yíng)⑤若n

40、m，a≡b（modm），則a≡b（modn）⑥若（m，n）＝1，a≡b（modm），a≡b（modn），則a≡b（modmn）⑦若a≡b（modm），n∈N*，則an≡bn（modm）⑧若ac≡bc（modm），（c，m）＝d，則a≡b（mod）⑨費(fèi)爾馬小定理：p是素?cái)?shù)，則ap≡a（modp）若另上條件（a，p）＝1，則ap－1≡1（modp）3、剩余類：把關(guān)于模m同余的數(shù)歸于一類，每類稱為一個(gè)模m的剩余類。剩余類的結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)單，設(shè)A是余數(shù)為r的剩余類，則A＝{qm＋r

41、m是模，r是

42、余數(shù)，q＝0，±1，±2，…}設(shè)A1、A2、…、Am是模m的m個(gè)剩余類，從Ai中取一數(shù)ai，則a1，a2，…，am稱為模m的一個(gè)完全剩余系，簡(jiǎn)稱m的完系。例8、證明：不存在正整數(shù)x，y滿足x3＋y3＝22009。（2009年巴西數(shù)學(xué)奧林匹克）例9、證明：對(duì)任意質(zhì)數(shù)p，存在無(wú)限多個(gè)形如2n－n的數(shù)被p整除。例10、已知p是奇素?cái)?shù)，證明：（第36屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克）例11、求所有的素?cái)?shù)對(duì)（p，q），使得pq

43、5p＋5q．（2009年CMO）例12、試確定具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)n：集合M＝{n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5}可以分成兩個(gè)不相交的非空子

44、集，使得一個(gè)子集中所有元素的積等于另一子集的所有元素之積。（第12屆IMO）三、不定方程例13、將棱長(zhǎng)為某整數(shù)的正方體切割成99個(gè)小正方體，其中98個(gè)是棱長(zhǎng)為1的正方體，另一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)也是整數(shù)，求原正方體的棱長(zhǎng)。例14、求所有滿足方程3×2m＋1＝n2的正整數(shù)對(duì)(m，n)（2009年新加坡數(shù)學(xué)奧林匹克）例15、求所有的正整數(shù)a、b、c，其中1＜a＜b＜c，使得(a－1)(b－1)(c－1)是abc－1的約數(shù)。（第33屆IMO）四、其它1、高斯函數(shù)⑴定義：[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，通常稱y＝[x]為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，記{x}＝x－[x]，y＝{x

45、}稱為x的小數(shù)部分函數(shù)。⑵性質(zhì)：①[x]＋{x}＝x