初等數(shù)論課程教學(xué)大綱新

《初等數(shù)論課程教學(xué)大綱新》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、《初等數(shù)論》課程教學(xué)大綱一、課程的性質(zhì)與地位　　“初等數(shù)論”課程是宿遷高等師范學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)必修的一門課程。數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)可以加深對(duì)數(shù)的性質(zhì)的了解與認(rèn)識(shí)，便于理解和學(xué)習(xí)與其相關(guān)的一些課程。數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門很古老的數(shù)學(xué)分支，其初等部分是以整數(shù)的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分?jǐn)?shù)、素?cái)?shù)（即整數(shù)）分布以及數(shù)論函數(shù)等內(nèi)容，統(tǒng)稱初等數(shù)論（elementarynumbertheory）。初等數(shù)論的大部份內(nèi)容早在古希臘歐幾里德的《幾何原本》中就已出現(xiàn)。歐幾里得證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，他還給出求兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)的方法，即所謂歐幾里得算法。我國(guó)古代在數(shù)論

2、方面亦有杰出之貢獻(xiàn)，現(xiàn)在一般數(shù)論書(shū)中的“中國(guó)剩余定理”正是我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》中的下卷第26題，我國(guó)稱之為“孫子定理”。近代初等數(shù)論的發(fā)展得益于費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算術(shù)探究》是數(shù)論的劃時(shí)代杰作。高斯還提出：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王”?？梢?jiàn)高斯對(duì)數(shù)論的高度評(píng)價(jià)。由于自20世紀(jì)以來(lái)引進(jìn)了抽象數(shù)學(xué)和高等分析的巧妙工具，數(shù)論得到進(jìn)一步的發(fā)展，從而開(kāi)闊了新的研究領(lǐng)域，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等新分支。而且近年來(lái)初等數(shù)論在計(jì)算器科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域內(nèi)更得到了廣泛的應(yīng)用，無(wú)疑同時(shí)間促進(jìn)著數(shù)論的發(fā)展。二、課程教學(xué)目

3、標(biāo)初等數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，歷史上遺留下來(lái)沒(méi)有解決的大多數(shù)數(shù)論難題其問(wèn)題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。本課程的目的是簡(jiǎn)單介紹在初等數(shù)論研究中經(jīng)常用到的若干基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、方法和技巧。數(shù)論是以嚴(yán)格和簡(jiǎn)潔著稱，內(nèi)容既豐富又深刻。通過(guò)這門課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得關(guān)于整數(shù)的整除性、不定方程、同余式、數(shù)論函數(shù)及簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的基本知識(shí)，掌握數(shù)論中的最基本的理論和常用的方法，加強(qiáng)他們的理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，為今后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。三、教學(xué)基本內(nèi)容及要求第一章數(shù)的整除性?（一）教學(xué)目的與要求　　1、理解整數(shù)整除、公因子、公倍數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，理解質(zhì)因數(shù)分解定理，熟

4、練掌握用裴蜀恒等式求最大公因子、最小公倍數(shù)的方法?！　?、理解素?cái)?shù)與合數(shù)的概念、素?cái)?shù)的性質(zhì)，理解整數(shù)的素?cái)?shù)分解定理，會(huì)用篩法求素?cái)?shù)。3、了解抽屜原理的簡(jiǎn)單與一般形式、會(huì)用抽屜原理構(gòu)造一些具有特殊性質(zhì)整數(shù)。（二）教學(xué)內(nèi)容1、整除性、公因數(shù)、公倍數(shù)　　兩個(gè)整數(shù)整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性質(zhì)及求最大公因子的方法；最小公倍數(shù)的概念、性質(zhì)及最小公倍數(shù)的求法。2、素?cái)?shù)與整數(shù)的素因子分解　　素?cái)?shù)與合數(shù)的概念、素?cái)?shù)的性質(zhì)、整數(shù)關(guān)于素?cái)?shù)的分解定理、素?cái)?shù)的求法（篩法）。3、抽屜原理　　抽屜原理的簡(jiǎn)單與一般形式、抽屜原理在構(gòu)造具有特殊性質(zhì)整數(shù)方面的應(yīng)用?！　≈攸c(diǎn)：整除、公因子、素?cái)?shù)的概念及性質(zhì)，裴

5、蜀恒等式，求最大公因子的方法，整數(shù)的素?cái)?shù)分解定理。難點(diǎn)：整數(shù)的素?cái)?shù)分解定理的理解與運(yùn)用函數(shù)[x]、{x}的概念及其應(yīng)用。（三）教學(xué)形式與方法本章主要采用課堂講授、討論相結(jié)合的教學(xué)方式（四）作業(yè)布置1．設(shè)四個(gè)自然數(shù)只和為1989，求證：它們的立方和不是偶數(shù)。2．試證明：不存在2個(gè)自然數(shù)，它們的和與差的乘積等于1990。3．設(shè)是一組數(shù)，他們中的每一個(gè)都取+1或-1，而證明：n必須是4的倍數(shù)。4．設(shè)n證明：能夠表示成n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的和。5、搜索中小學(xué)關(guān)于此類問(wèn)題的題目，理解與體會(huì)方法的運(yùn)用。6、查尋奇數(shù)，偶數(shù)在中小學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用，拓展思維，靈活運(yùn)用。7、求（1）（5767，4453）（2）（31

6、41，1592）8、求[144，480]9、求證：若，則（1）（2）或10、求出能使成立的兩個(gè)整數(shù)。11、二數(shù)之和是432，它們的最大公約數(shù)是36，求此二數(shù)。12、對(duì)于任意的整數(shù)，證明：總可以找到個(gè)連續(xù)的合數(shù)13、求72與480的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。14、（1）迪潑瓦爾曾斷言：對(duì)所有n≥1，6n+1和6n-1中至少有一個(gè)是質(zhì)數(shù)、舉例說(shuō)明他的斷言錯(cuò)了。（2）證明：有無(wú)窮多個(gè)n使6n-1和6n+1同時(shí)為合數(shù)。15、設(shè)P是合數(shù)n是最小素因數(shù)，證明：若P＞，則是素?cái)?shù)16、容易驗(yàn)證90、91、92、93、94、95、96是7個(gè)相鄰的合數(shù)。試寫(xiě)出9個(gè)相鄰的合數(shù)。17、檢驗(yàn)539是否為質(zhì)數(shù)18、證明

7、：在n＞2時(shí)，n與n！之間一定有一個(gè)質(zhì)數(shù)分析：由于（n！-1.n?。?1，則1到n中的所有質(zhì)數(shù)均不能整除n！-1，那么必存在質(zhì)數(shù)p，p＞n，且p＜n！第二章同余理論（一）教學(xué)目的與要求　　1、理解整數(shù)同余的概念及同余的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用同余的基本性質(zhì)，會(huì)利用同余簡(jiǎn)單驗(yàn)證整數(shù)乘積運(yùn)算的結(jié)果?！　?、理解剩余類、完全剩余系的概念，熟練掌握判斷剩余系的方法。　　3、了解Fermat小定理，熟練運(yùn)用之。　　4、理解中國(guó)剩余定理，