資源描述：
《夏建新--初等數(shù)論》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、2012年江蘇省高中數(shù)學奧林匹克夏令營初等數(shù)論江蘇省南菁高級中學夏建新一、整除⑴帶余除法：對于任一整數(shù)a和任一非零整數(shù)b，必有惟一的一對整數(shù)q和r，使得a＝bq＋r，0≤r＜b，且q和r由上述條件惟一確定。 若r＝0，則稱b
2、a。⑵部分性質(zhì)：①若c
3、b，b
4、a，則c
5、a②若c
6、a，d
7、b，則cd
8、ab③若c
9、a，c
10、b，則c
11、（ka＋nb）；若c
12、a，cb，則c（a＋b）④若ma
13、mb，則a
14、b⑤若a＞0，b＞0，b
15、a，則b≤a⑥若n∈N*，則（a－b）
16、（an－bn）。若n為奇數(shù)，則（a＋b）
17、（an＋bn）。若n為偶數(shù)，則（a＋b）
18、（an－bn）⑦任意n個連續(xù)正整數(shù)的乘
19、積必能被n！整除。⑶當（a，b）＝1時，稱a、b互素（互質(zhì)）。有：①已知（a，c）＝1，若a
20、bc，則a
21、b；若a
22、b，c
23、b，則ac
24、b②p為質(zhì)數(shù)，若p
25、ab，則p
26、a或p
27、b③[a，b]·（a，b）＝ab④（a，b）＝（a，b－ac）＝（a－bc，b）對任何整數(shù)c成立⑤（裴蜀定理）存在整數(shù)x、y，使ax＋by＝（a，b）⑥m（a，b）＝（ma，mb）⑦若（a，b）＝d，則＝1⑧若a
28、m，b
29、m，則[a，b]
30、m⑨m[a，b]＝[ma，mb]⑩費爾馬小定理：p是素數(shù)，則p
31、ap－a若另上條件（a，p）＝1，則p
32、ap－1－1例1、求所有的正整數(shù)n，使得8n＋n可以被2n＋n整
33、除。（2009年日本數(shù)學奧林匹克）例2、設n≥m≥1，m、n為整數(shù)，證明：·C為整數(shù)。（2000年普特南）例3、求所有的正整數(shù)n，使n能被所有不大于的正整數(shù)整除。例4、已知a，b，c為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且a2
34、(b3＋c3)，b2
35、(a3＋c3)，c2
36、(a3＋b3)，求a，b，c的值．（2011年東南數(shù)學奧林匹克）例5、求有序三元正整數(shù)組（a，b，c）的個數(shù)，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[a，c]＝2000。（[x，y]表示x、y的最小公倍數(shù)）例6、證明：對所有的非負整數(shù)n，7＋1至少是2n＋3個質(zhì)數(shù)（不一定互不相同）的乘積。（2007年第36屆美國數(shù)學奧
37、林匹克）例7、是否存在奇數(shù)n（n≥3）及n個互不相同的質(zhì)數(shù)p1，p2，…，pn，使得pi＋pi＋1（i＝1，2，…，n，pn＋1＝p1）都是完全平方數(shù)？請證明你的結(jié)論。（2011年中國西部數(shù)學奧林匹克）二、同余1、定義：設m是正整數(shù)，叫做模，若m
38、（a－b），稱a，b對模m同余，記作a≡b（modm）2、性質(zhì)：①a≡a（modm）②若a≡b（modm），則b≡a（modm）③若a≡b（modm），b≡c（modm），則a≡c（modm）④若a≡b（modm），c≡d（modm），則a±c≡b±d（modm），ac≡bd（modm）2012年江蘇省高中數(shù)學奧林匹克夏令營⑤若n
39、m
40、，a≡b（modm），則a≡b（modn）⑥若（m，n）＝1，a≡b（modm），a≡b（modn），則a≡b（modmn）⑦若a≡b（modm），n∈N*，則an≡bn（modm）⑧若ac≡bc（modm），（c，m）＝d，則a≡b（mod）⑨費爾馬小定理：p是素數(shù)，則ap≡a（modp）若另上條件（a，p）＝1，則ap－1≡1（modp）3、剩余類：把關于模m同余的數(shù)歸于一類，每類稱為一個模m的剩余類。剩余類的結(jié)構(gòu)很簡單，設A是余數(shù)為r的剩余類，則A＝{qm＋r
41、m是模，r是余數(shù)，q＝0，±1，±2，…}設A1、A2、…、Am是模m的m個剩余類，從Ai中取一數(shù)ai，則a1，
42、a2，…，am稱為模m的一個完全剩余系，簡稱m的完系。例8、證明：不存在正整數(shù)x，y滿足x3＋y3＝22009。（2009年巴西數(shù)學奧林匹克）例9、證明：對任意質(zhì)數(shù)p，存在無限多個形如2n－n的數(shù)被p整除。例10、已知p是奇素數(shù)，證明：（第36屆加拿大數(shù)學奧林匹克）例11、求所有的素數(shù)對（p，q），使得pq
43、5p＋5q．（2009年CMO）例12、試確定具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)n：集合M＝{n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5}可以分成兩個不相交的非空子集，使得一個子集中所有元素的積等于另一子集的所有元素之積。（第12屆IMO）三、不定方程例13、將棱長為某整數(shù)的正方體切
44、割成99個小正方體，其中98個是棱長為1的正方體，另一個正方體的棱長也是整數(shù)，求原正方體的棱長。例14、求所有滿足方程3×2m＋1＝n2的正整數(shù)對(m，n)（2009年新加坡數(shù)學奧林匹克）例15、求所有的正整數(shù)a、b、c，其中1＜a＜b＜c，使得(a－1)(b－1)(c－1)是abc－1的約數(shù)。（第33屆IMO）四、其它1、高斯函數(shù)⑴定義：[x]表示不超過x的最大整數(shù)，通常稱y＝[x]為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，記{x}＝x－[x]，y＝{x}稱為x的小數(shù)部分函數(shù)。⑵性質(zhì)：①[x]＋{x}＝x
