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《初中數學拔尖材料06 帶余除法和余數分類》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、初中數學拔尖材料06帶余除法和余數分類帶余除法是整除問題中最常見的問題，它的性質是處理整除的基礎．絕大多數整數是不能被整除的，按余數進行分類討論，是處理整除問題的重要方法．本講主要是例講處理方法．一、帶余除法的基本知識1．帶余除法：并不是任意一個整數都能被一個不等于0的整數整除的．對任意一對整數、，總存在唯一一對、，使得，其中；當時，即稱為“帶余”．例如：105被8除，得商13，余數1．2．余數分類：一個整數被2除時，余數只能是0和1這兩種可能，因此，可以把所有整數按照被2除的余數分成兩類，一類整數是被2除余數為0，另一類整數是被2除余數是1，即任一整數都可以寫成
2、或的形式（是整數）．又如，一個整數被3除時，余數只能是0，1和2這三種可能，因此，所有整數可以分成、、這三類形式．同樣，任何一個整數除以一個非0的任意整數，都可以得一個商和余數，即，這里的只可能取0，1，2，…，這個值；所有整數可以按照這個余數進行分類．3．同余：兩個整數和被除時余數相同，則稱和對模同余，記作．帶余除法、余數分類和同余是解決整數問題的利器．二、典型例題例1．用一個兩位數除708，余數為43，求這個兩位數．例2．一個自然數分別去除75、125、201都有余數，三個余數的和是31，求這三個余數中最小的一個余數．例3．在大于2005的自然數中，被56除后
3、，商與余數相等的數共有多少個？求這些數的總和．例4．求證：對任何正整數和，在、、、這四個數中，一定有一個能被3整除．例5．若2836、4582、5164、6522四個整數都被同一個正整數相除，所得的余數相同，但不為0，求除數和余數．例6．個空格排成一行，第一格中放入一粒棋子，兩人下棋，每步可向前放1、2或3格，兩個個人交替走，以先到最后一格者為勝，問是先走者還是后走者必勝？怎樣取勝？例7．若干圓形紙片，每個均分成4個相同的扇形，用紅、黃兩種顏色分別涂滿各扇形；問從這些圓形彩色紙片中至少取出多少張，才能確保有兩張紙片涂色相同？例8．一副撲克牌有54張，最少要抽取幾張
4、牌，才能使其中至少有2張牌有相同的點數？例9．兩條直線相交，將四個交角中較小的一個稱為兩條直線的“交角”．如圖是條直線，它們兩兩相交的示意圖，交角只能是、、、、、，問：的最大值是多少？例10．試證明：任給5個整數，必能從其中選出3個，使得它們的和能被3整除．例11．在已知一列數1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干數之和能被11整除分為一組，問這樣的數組共有多少？例12．求證：大于11的整數都能寫成兩個合數之和．例13．設，其中均為整數，求證：．例14．若為質數，求證：例15．一個正方體，每條棱上可以標記上1個1到12的自然數，要求每條棱
5、上的自然數都不同．在每個頂點處，相鄰有3個自然數，這3個自然數可以依大到小排列出一個新的自然數．例如：下圖點處，排列出的自然數是1272．問：能否有一種標記的方式，使得到的8個自然數都能被3整除．例16．求的個位和十位數字．例17．可否把右圖中的圓圈涂紅色或藍色．使得在同一條線段上的紅色圓圈個數都是奇數？若可以，請給出一種涂法．若不可以，請說明理由．例18．在1～2014的所有的整數中，有多少個使和被7除有相同的余數？綜合練習1．一數被10除，余9；被9除，余8；被8除，余7；…；被2除，余1；此數為__________．2．除以13，余數是_________．3
6、．若三個整數1059、1417和2312，每個數各除以，且余數都是，其中是大于1的整數，則等于____________．4．若為任意整數，則除以9的余數可能是______________．5．70個數排成一排，除了兩頭的兩個數之外，每個數的3倍都恰好等于它前后兩個數的和；這排數最左邊的幾個數是0，1，3，8，21，…；則最右邊一個數被6除余數是_________．6．設，用除，所得的余數是_________．7．求使，，都是質數的所有的的值．8．求證：若，則或．9．若和都是質數，求證：也是質數．10．下圖是一個3行10列的長方形，每個小方格均涂有黑色或白色，問能否
7、找到兩列，它們的涂色方式完全相同，請說明理由．
